第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量

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1、第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量在第二章中，我們根據(jù)微觀粒子的波粒二象性引入波函數(shù)來描述微觀粒子的運動狀態(tài)，這與經(jīng)典粒子的描述方式不同。除此以外，微觀粒子力學(xué)量的性質(zhì)也不同于經(jīng)典粒子的力學(xué)量。經(jīng)典粒子力學(xué)量在任何狀態(tài)下都有確定值，而微觀粒子力學(xué)量通常不具有確定值，而是有確定的幾率分布。因此，量子力學(xué)中的力學(xué)量通常不同一個數(shù)值來表示，而是用一個算符來表示。本章首先引入表示力學(xué)量的算符，討論算符的本征值問題，然后介紹算符的運算規(guī)則，尤其是對易關(guān)系的運算。之后給出量子力學(xué)的五個基本假設(shè)，最后討論氫原子的三維定態(tài)問題?！?.1表示力學(xué)量的算符1

2、．算符算符是作用在波函數(shù)上的一種運算符號，它對某個波函數(shù)作用的結(jié)果，按照指定的規(guī)則成為另一個波函數(shù)。即，（1）就稱為算符。例如，，，，，等，分別代表對波函數(shù)取一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，開平方，取對數(shù)，取復(fù)共軛及乘以等運算。在經(jīng)典力學(xué)中，坐標(biāo)與動量是基本力學(xué)量，其它力學(xué)量一般都是、的函數(shù)，即。在量子力學(xué)中，力學(xué)量要用算符來表示，最基本的力學(xué)量算符便是坐標(biāo)算符與動量算符。坐標(biāo)算符就是坐標(biāo)本身：，（2）動量算符是.（3）其它具有經(jīng)典對應(yīng)量的力學(xué)量的算符，可由經(jīng)典表示式，將、改為相應(yīng)算符、得到，即.（4）例如，在經(jīng)典力學(xué)中角動量的定義是,而在

3、量子力學(xué)中，相應(yīng)的角動量算符為.（5）下面列出量子力學(xué)中一些常用的力學(xué)量算符:49動能算符：==,勢能算符：=,哈密頓算符：==+，能量算符：=.以上力學(xué)量算符均對應(yīng)于經(jīng)典力學(xué)量，在量子力學(xué)中還有一些特殊的力學(xué)量，它們是沒有經(jīng)典對應(yīng)量的，如自旋、同位旋、宇稱等等，它們的算符我們將另行討論。2.算符的本征值方程在第二章中，我們介紹了哈密頓算符（能量）的本征值方程：，為能量本征函數(shù)，為能量本征值。一般的，如果一個算符作用在一個波函數(shù)上，結(jié)果等于乘以一個常數(shù)，即,（6）則方程（6）稱為算符的本征值方程，稱為的本征態(tài)，稱為的本征值。一般

4、來說，一個力學(xué)量算符的本征值、本征態(tài)都不只一個，所以方程（6）通常寫作.（7）它表示的物理意義是：當(dāng)體系處于力學(xué)量算符的本征態(tài)時，測量力學(xué)量，會得到確定的值，這個確定的值就是在態(tài)下的本征值。即測得的幾率為“1”。3.表示力學(xué)量的算符是線性厄密算符若算符滿足以下運算規(guī)則，（8）則稱為線性算符。其中，與是任意兩個波函數(shù)，與是任意兩個常數(shù)（一般為復(fù)數(shù)）。在量子力學(xué)中，表示力學(xué)量的算符都必須是線性算符，這是態(tài)疊加原理的要求。如果對于任意的兩個波函數(shù)和，算符滿足下列等式：49,或.（9）則稱為厄密算符。下面來證明厄密算符的本征值為實數(shù)。設(shè)

5、的本征值方程為因為為厄密算符，所以有=,即.常數(shù)在方程中可任意移動，則有，即，為實數(shù)。我們知道，實驗上可觀測力學(xué)量的測量值一定是實數(shù)，而在量子力學(xué)中，無論在什么態(tài)下，實驗上測得的一定是力學(xué)量的本征值，這就要求量子力學(xué)中力學(xué)量的本征值為常數(shù)，而厄密算符的本征值為實數(shù)，這就說明量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是線性厄密算符。我們稱其為量子力學(xué)第三基本假設(shè)。例證明：、都是厄密算符。證明：（1）.即是厄密算符。49（2）假設(shè)則=======即也是厄密算符?！?.2基本力學(xué)量算符的本征問題1.坐標(biāo)算符的本征函數(shù)系首先討論一維情況。設(shè)坐標(biāo)算符的

6、本征值為，屬于本征值的本征函數(shù)是，則算符的本征值方程為，（1）由于，上式可寫為。利用函數(shù)性質(zhì)：，可得本征函數(shù).（2）顯然可取任意實數(shù)值。將（2）式代入（1）式，得算符的本征值方程49.（3）當(dāng)時，上式兩邊均為；當(dāng)時，上式兩邊均為零。算符的本征值譜是連續(xù)的，它的本征函數(shù)的模不是平方可積的:====→,（4）上面等式中利用了函數(shù)性質(zhì).（5）因此，的本征函數(shù)只能歸一化為函數(shù):.（6）同理，對于三維空間，算符的本征值方程為,（7）式中，為任意實矢量，而本征函數(shù)為.（8）2.動量算符的本征函數(shù)系我們?nèi)韵扔懻撘痪S空間情況。動量算符的本征值方

7、程是，（9）式中，是動量算符的本征值，是屬于這個本征值的本征函數(shù)。將代入（9）式，解常微分方程，可得本征函數(shù)為（10）由于本征值可取任意實數(shù)，本征值是連續(xù)譜，相應(yīng)的本征函數(shù)也是關(guān)于本征值的連續(xù)函數(shù)，不是平方可積的，數(shù)學(xué)上，一般都將其歸一化成函數(shù)。即49=.（11）利用函數(shù)的傅里葉積分：,（12）上式中用表示，用表示，可得，再利用及，便有,（13）比較（11）、（13）兩式，可得歸一化常數(shù)，歸一化的動量本征函數(shù)為.（14）接下來考慮三維空間情況。此時，動量算符的本征值方程是,或.（15）式中，是動量算符的本征值，是屬于這個本征值的

8、本征函數(shù)。（15）式的三個分量方程是,,49.（16）利用分離變量法，設(shè)，可得本征函數(shù)為（17）它的歸一化為.(18)3.角動量算符在有些勢場中，勢能的大小與方向無關(guān)，只與位置有關(guān)。即。我們把這種勢場稱為中心勢場。比如庫侖勢場就是中心勢場，這時描述體系轉(zhuǎn)動性質(zhì)的