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1、綜合實驗三蒲豐投針問題實驗一、實驗目的1.掌握幾何概型、熟悉MonteCarlo方法的基本思想；3．會用MATLAB實現簡單的計算機模擬二、實驗內容在用傳統方法難以解決的問題中，有很大一部分可以用概率模型進行描述．由于這類模型含有不確定的隨機因素，分析起來通常比確定性的模型困難．有的模型難以作定量分析，得不到解析的結果，或者是雖有解析結果，但計算代價太大以至不能使用．在這種情況下，可以考慮采用MonteCarlo方法。下面通過例子簡單介紹MonteCarlo方法的基本思想．MonteCarlo方法是計算機模擬的基礎，它的名字來源于世
2、界著名的賭城——摩納哥的蒙特卡洛，其歷史起源于1777年法國科學家蒲豐提出的一種計算圓周的方法——隨機投針法，即著名的蒲豐投針問題。這一方法的步驟是：1)取一張白紙，在上面畫上許多條間距為d的平行線，見圖8.1(1)2)取一根長度為的針，隨機地向畫有平行直線的紙上擲n次，觀察針與直線相交的次數，記為m3）計算針與直線相交的概率．由分析知針與平行線相交的充要條件是其中建立直角坐標系,上述條件在坐標系下將是曲線所圍成的曲邊梯形區(qū)域，見圖8．l（2）．由幾何概率知4）經統計實驗估計出概率由(*)式即MonteCarlo方法的基本思想是首先
3、建立一個概率模型，使所求問題的解正好是該模型的參數或其他有關的特征量．然后通過模擬一統計試驗，即多次隨機抽樣試驗（確定m和n），統計出某事件發(fā)生的百分比．只要試驗次數很大，該百分比便近似于事件發(fā)生的概率．這實際上就是概率的統計定義．利用建立的概率模型，求出要估計的參數．蒙特卡洛方法屬于試驗數學的一個分支．問題：(1)經過n次試驗后圓周率估計與的圓周之間的差的絕對值的規(guī)律是？其中n分別取100，1000，2000，5000，10000，20000，50000(2)參數l，d的不同選擇，會對圓周率的估計有什么影響？可以選擇d為l.5倍，
4、2倍，3倍，4倍，5倍，8倍，10倍，20倍，50倍三、實驗要求寫出實驗步驟、結果顯示及分析四、實驗分析以x表示針的中點與最近一條平行線的距離，以j表示針與此線間的交角．顯然0≤x≤a/20≤j≤p 針與平行線相交的充要條件是x≤lsin(j)/2 因(x,j)在圖(4)中下面的矩形中等可能地取點，可見針與平行線相交的概率p為圖(4)正弦曲線線段與橫軸圍成的面積同圖(4)中矩形面積的比．經計算得p=另一方面得到 如大量得投針實驗，利用大數定理知：隨著實驗次數的增加，針與平行線相交的頻率依概率收斂到概率p．那么在上式中以頻率代替相
5、應的概率p，則可以獲得圓周率p的近似值．下面的程序是用matlab語言編寫的計算機模擬投針以計算p的近似值的程序．五、實驗步驟1.編寫MATLAB程序cleard=2l=0.5counter=0n=100x=unifrnd(0,d/2,1,n)fi=unifrnd(0,pi,1,n)fori=1:nifx(i)<1*sin(fi(i))/2counter=counter+1endendfren=counter/npihat=2*1/(d*fren)sqrt((pihat-pi)^2)結果顯示:fren=0.3300pihat=3.0
6、303ans=0.1113以此類推：將n=1000，2000，5000，10000，20000，50000分別代入，可得：當n=1000時，fren=0.3240pihat=3.0864ans=0.0552當n=2000時，fren=0.3230pihat=3.0960ans=0.0456當n=5000時，fren=0.3204pihat=3.1211ans=0.0205當n=10000時，fren=0.3190pihat=3.1348ans=0.0068當n=20000時，fren=0.3172pihat=3.1521ans=0.
7、0105當n=50000時，fren=0.3177pihat=3.1478ans=0.00622.改變d的取值，分別為1.5，2，3，4，5，8，10，20，50倍仍用1中的程序：cleard=3l=0.5counter=0n=100x=unifrnd(0,d/2,1,n)fi=unifrnd(0,pi,1,n)fori=1:nifx(i)<1*sin(fi(i))/2counter=counter+1endendfren=counter/npihat=2*1/(d*fren)sqrt((pihat-pi)^2)結果顯示：d為1.5
8、倍時fren=0.2300pihat=2.8986ans=0.2430d為2倍時fren=0.1700pihat=2.9412ans=0.2004d為3倍時fren=0.1100pihat=3.0303ans=0.1113d為4倍時f
