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1、蒲豐投針問題的類比 【摘要】該文把蒲豐投針問題中的平行線改為同心圓，得到很有意思的一個結(jié)論，以幫助學(xué)生更好地理解蒲豐投針問題，拓展其思路. 【關(guān)鍵詞】蒲豐投針；概率；同心圓 TheanalogyofBuffonThrowing-pinProblem 【Abstract】Inthispaper，theparallellinesinBuffonThrowing-pinProblemarereplacedbyconcentriccircles，thuswegetaninterestingconclusion，whichcanhelpstudentsunderstand
2、BuffonThrowing-pinProblembetterandexpandtheirthinking. KeyWwords：BuffonThrowing-pin，Probability，Concentriccircles. 【中圖分類號】G63.23【文獻標(biāo)識碼】A【文章編號】2095-3089（2013）29-0-01 一、引言4 蒲豐投針問題是概率中一個非常有代表性的問題：我們只需要設(shè)計一個隨機試驗，使得一個事件的概率與某一未知數(shù)有關(guān)，然后通過大量的重復(fù)試驗，以頻率替代概率，就可求得未知數(shù)的一系列近似解.它由法國科學(xué)家蒲豐（Buffon）在1777年提
3、出的，是第一個用幾何形式表達概率問題的例子，開創(chuàng)了使用隨機數(shù)處理確定性數(shù)學(xué)問題的先河，具有很強的理論與實際意義.蒲豐投針問題的解決不僅反映了集合概率的特征及處理方法，而且還可以由此領(lǐng)略到從“概率土壤”上開出的一朵瑰麗的鮮花――蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法.隨著現(xiàn)代計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，用計算機來模擬所設(shè)計的隨機試驗變得非常方便，這使得蒙特卡洛方法得到了迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用. 二、蒲豐投針問題的描述及其一般結(jié)論 問題描述：平面上畫有一系列等距離的平行線，相鄰兩條平行線之間的距離為，向平面任意投擲一枚長為的針，試求針與平行線相交的概率. 解：設(shè)表示針的中點
4、M到最近一條平行線的距離，表示該針與平行線的夾角.針與平行線的關(guān)系見圖1，則有：， 由它們所圍成的矩形區(qū)域即為樣本空間所表示的區(qū)域（圖2中的矩形部分）.針與平行線相交的充要條件是：，滿足這個關(guān)系的區(qū)域即為“針與平行線相交”這一事件所標(biāo)示的區(qū)域（圖2中的陰影部分）.則所求概率為 圖（一）圖（二） 關(guān)于蒲豐問題的推廣，很多學(xué)者也進行了大量的研究，例如把針替換成三角形時的蒲豐問題，把針替換成四邊形時的蒲豐問題，把針替換成硬幣時的蒲豐問題以及在空間上的推廣等等，并得出了不同情況下的一般結(jié)論，即蒲豐投針問題一般結(jié)論： 定理1平面上畫有等距離的平行線，向平面上任意投擲一個以
5、為邊長的凸邊形，且要求此凸邊形的邊長和對角線均小于，則凸邊形與平行線相交的概率為 三、平行線改為同心圓時的蒲豐問題4 我們通過上面的討論得到啟發(fā)，平面上的同心圓在無窮遠處可以看做是平行線.那么對同樣的蒲豐投針問題，把平行線改為同心圓時，應(yīng)該在無窮遠處得到與上面的結(jié)論類似的結(jié)果.我們僅考慮一個簡單情況，即當(dāng)投擲物是一個硬幣時的蒲豐問題 定理2假設(shè)平面上有個同心圓，間距均為.往平面上投擲一些半徑為的硬幣，則當(dāng)時硬幣與同心圓相交的概率. 證明：記“硬幣與同心圓相交”這一事件為，要想事件成立，則只要硬幣的圓心滿足，， 其集合的形狀為一系列圓環(huán)區(qū)域，面積為. 圓心所組
6、成的樣本空間為整個坐標(biāo)平面，其面積可以表示為.因此，由幾何概率知，它們面積的比值即為所求概率 由此結(jié)果我們看到，當(dāng)蒲豐投針問題由平行線改為同心圓的時候，在時，同樣得到與定理1類似的結(jié)果.這同時也從另一方面證明了同心圓在無窮遠處就變?yōu)槠叫芯€這一結(jié)論. 事實上，當(dāng)為有限值時，硬幣與同心圓相交的概率是，是一個與同心圓個數(shù)有關(guān)的單調(diào)遞增數(shù)列，其極限為. 四、結(jié)語4 概率論的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點與難點，而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力是中學(xué)課程標(biāo)準的基本要求.因此，教師應(yīng)善于引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生敢于求異，勇于創(chuàng)新.蒲豐投針問題是大多數(shù)概率教材中的開場問題，它的不同解法以及推廣對學(xué)
7、生今后學(xué)習(xí)概率論有很好的引導(dǎo)作用.在概率論教學(xué)中，讓學(xué)生在無限的空間里實現(xiàn)思維的飛躍，有助于開啟學(xué)生的想象力、創(chuàng)造力之門；通過研究一個問題的多種解法或同一類型問題的相似解法，有助于拓展學(xué)生思維的廣度和深度，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的激情. 參考文獻 [1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第二版）[M]，北京：高等教育出版社，2010. [2]張德然.蒲豐投針問題的推廣及其應(yīng)用.阜陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），1997年第1期. [3]姚楠黃金明.蒲豐針問題不同結(jié)果及其內(nèi)在聯(lián)系.常德師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），1999年9月
