3、則所求概率為P1=g1的面積G1的面積=0πl(wèi)sinφdφaπ=2laπ三、Buffon投針問題不同解法及其內(nèi)在聯(lián)系上述解法是常見解法之一(記為解法一)，這里討論一下蒲豐針問題的其他解法及其之間的聯(lián)系。1.其他解法解法二：以x表示針的重點(diǎn)M到最近一條平行線的距離，y表示該針在此平行線上投影和長度，如圖3所示。易知x和y的取值范圍是0≤x≤a，0≤y≤2l，這兩個(gè)不等式確定了xOy平面上的矩形區(qū)域G2，針與平行線相交的充要條件是(y2)2+x2≤l2，該不等式確定了矩形區(qū)域G2(如圖4所示)中的區(qū)域g
4、2，從而所求概率為P2=g2的面積G2的面積=14·l·2l·π2l·a=lπ4a解法三：作垂直于平行線的直線，在該直線上選定一方向?yàn)檎?，用z1，z2分別表示針頭與針尾關(guān)于某平行線的縱坐標(biāo)(如圖5所示)，該平行線的選取應(yīng)使
5、z1+z2
6、≤2a。注意到z1，z2滿足
7、z1-z2
8、≤2l，則在平面z1Oz2上確定了矩形區(qū)域G3中的子集g3(如圖6所示)，因此，所求概率為P3=g3的面積G3的面積=(2l)222a·22l=l2a1.矛盾產(chǎn)生的原因三種解法得出三種完全不同的結(jié)果，直觀上看，是由于它們所用
9、的隨機(jī)變量不同，但本質(zhì)上，則是由于它們選擇的假設(shè)條件不同。解法一依據(jù)的假設(shè)：假設(shè)1針的中點(diǎn)到平行線的距離X和針與平行線的夾角?所構(gòu)成的二維隨機(jī)向量(X,?)服從G1上的均勻分布；解法二依據(jù)的假設(shè)：假設(shè)2針的中點(diǎn)到平行線的距離X和針與平行線上的投影長度Y構(gòu)成的二維隨機(jī)向量(X,Y)服從G2上的均勻分布；解法三依據(jù)的假設(shè)：假設(shè)3針的兩個(gè)端點(diǎn)到平行線的距離Z1，Z2構(gòu)成的二維隨機(jī)向量(Z1,Z2)服從G3上的均勻分布。上述三種假設(shè)是不能同時(shí)成立的。這可由以下幾個(gè)命題看出：命題1若隨機(jī)向量(X,?)服從[0
10、,a]×[0,π]上的均勻分布，則(1)隨機(jī)向量(X,Y)=(X,2lcos?)的分布密度函數(shù)為：P1x,y=1aπ·14l2-y2&x∈0,a,y∈[-2l,2l]0&其它(1)(2)隨機(jī)向量(Z1,Z2)=(X+lsin?,X-lsin?)的分布函數(shù)為：P2z1,z2=1aπ·14l2-(z1-z2)2
11、z1-z2
12、≤2l,
13、z1+z2
14、<2a0&其它(2)命題2若隨機(jī)向量(X,Y)服從[0,a]×[-2l,2l]上的均勻分布，則(1)隨機(jī)向量(X,?)=(X,arccosY2l)的分布密度函數(shù)
15、為：P3x,φ=sinφ2a&x∈0,a,y∈[0,φ]0&其它(3)(2)隨機(jī)向量(Z1,Z2)=(X+l1-Y2l2,X-l1-Y2l2)的分布密度為：P4z1,z2=14la·z1-z24l2-(z1-z2)2
16、z1-z2
17、≤2l,
18、z1+z2
19、<2a0&其它(4)命題3若隨機(jī)向量(Z1,Z2)服從區(qū)域G3:
20、z1-z2
21、≤2l,
22、z1+z2
23、<2a上的均勻分布，則(1)隨機(jī)向量(X,?)=(Z1+Z22,arcsinZ1-Z22l)的分布密度為：P5x,φ=cosφ4a&x∈-a,a,φ∈[
24、-π2,π2]0&其它(5)(2)隨機(jī)向量(X,Y)=(Z1+Z22,4l2-(Z1-Z2)2)的分布密度為：P6x,y=18la·
25、y
26、4l2-y2&x∈-a,a,y∈[-2l,2l]0&其它(6)也就是說，在假設(shè)1成立時(shí)，隨機(jī)向量(X,Y)和(Z1,Z2)已不再服從均勻分布，而是分別服從密度函數(shù)為(1)和(2)的分布；在假設(shè)2成立時(shí)，隨機(jī)向量(X,?)和(Z1,Z2)分別服從密度為(3)和(4)的分布；在假設(shè)3成立時(shí)，隨機(jī)向量(X,?)和(X,Y)分別服從密度為(
