利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性教案

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1、§1.3　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.3.1　利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【學(xué)習(xí)要求】1．結(jié)合實例，直觀探索并掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．2．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并能夠利用單調(diào)性證明一些簡單的不等式．3．會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)．【學(xué)法指導(dǎo)】結(jié)合函數(shù)圖象(幾何直觀)探討歸納函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負之間的關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合思想，以直代曲思想.一般地，在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)遞_增__f′(x)<0單調(diào)遞__減__f′(x)＝0常函數(shù)探究點一　函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負的關(guān)系問題

2、1　觀察下面四個函數(shù)的圖象，回答函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負有何關(guān)系？答：(1)在區(qū)間(－∞，＋∞)內(nèi)，y′＝1>0，y(x)是增函數(shù)；(2)在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)，y′＝2x<0，y(x)是減函數(shù)；在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)，y′＝2x>0，y(x)是增函數(shù)；(3)在區(qū)間(－∞，＋∞)內(nèi)，y′＝3x2≥0，y(x)是增函數(shù)；(4)在區(qū)間(－∞，0)，(0，＋∞)內(nèi)，y′＝－<0，y(x)是減函數(shù)．小結(jié)　一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負有如下關(guān)系：在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，

3、那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．問題2　若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么f′(x)一定大于零嗎？答：由問題1中(3)知f′(x)≥0恒成立．問題3(1)如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么如何表示這些區(qū)間？試寫出問題1中(4)的單調(diào)區(qū)間．(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與其定義域滿足什么關(guān)系？答：(1)不能用“∪”連接，只能用“，”或“和”字隔開．問題1中(4)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)函數(shù)的單調(diào)性是對函數(shù)定義域內(nèi)的某個子區(qū)間而言的，故單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．例1　已知導(dǎo)函數(shù)f′(x)的下列信息：當(dāng)

4、10；當(dāng)x>4或x<1時，f′(x)<0；當(dāng)x＝4或x＝1時，f′(x)＝0.試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀．解：　當(dāng)10，可知f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x>4或x<1時，f′(x)<0，可知f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)x＝4或x＝1時，f′(x)＝0，這兩點比較特殊，我們稱它們?yōu)椤芭R界點”．綜上，函數(shù)f(x)圖象的大致形狀如圖所示．小結(jié)　5/5本題具有一定的開放性，圖象不唯一，只要能抓住問題的本質(zhì)，即在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性符合題意就可以了．跟蹤訓(xùn)練1　函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，試畫出導(dǎo)函

5、數(shù)f′(x)圖象的大致形狀．解　f′(x)圖象的大致形狀如下圖：注：圖象形狀不唯一．例2　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝x3－4x2＋x－1；(2)f(x)＝2x(ex－1)－x2；(3)f(x)＝3x2－2lnx.解　(1)f′(x)＝3x2－8x＋1.令3x2－8x＋1>0，解此不等式，得x<或x>.因此，區(qū)間和為f(x)的單調(diào)增區(qū)間．令3x2－8x＋1<0，解此不等式，得0；當(dāng)x∈(－1

6、,0)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,0)上單調(diào)遞減．(3)函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝2·.令f′(x)>0，即2·>0，解得－.又∵x>0，∴x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－或00，∴0

7、x)>0和f′(x)<0)；(4)用f′(x)＝0的根將f(x)的定義域分成若干區(qū)間，列表考查這若干個區(qū)間內(nèi)f′(x)的符號，進而確定f(x)的單調(diào)區(qū)間．跟蹤訓(xùn)練2　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x<2π)解　(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因為x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0得x>，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由f′(x)<0得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(

8、－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因為x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)