第十八章勾股定理

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1、第十八章勾股定理18.1勾股定理第一課時勾股定理（一）一、回眸歷史，感悟輝煌【顯示投影片1】內容1：公元前572～前492年，古希臘著名的哲學家、數學家、天文學家畢達哥拉斯，他在一次朋友家做客時，發(fā)現朋友家用磚鋪成的地面中用了直角三角形三邊的某種數量關系，請同學們一起來觀察圖中的地面（顯示投影圖片a），你能發(fā)現什么呢？（圖片見課本圖P72）．【活動方略】教師活動：操作投影儀，講述畢達哥拉斯的故事（上網收集），引導學生觀察該圖片，發(fā)現問題．學生活動：觀察、聽取老師的講述，從中發(fā)現圖片a中含有許多大大小小的等腰直角三角形．內容2：用圖片置示學生的發(fā)現，引導學生繼續(xù)發(fā)現．教師活動

2、：教師提問：同學們，你能發(fā)現課本圖18．1-1中的等腰直角三角形有什么性質嗎？學生活動：與同伴合作探討，從網格圖中不難發(fā)現下面的現象：圖18．1-1右邊的三個正方形SⅠ=SⅡ，SⅢ=SⅠ+SⅡ，即以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積．教師小結：從圖18-1-1，我們發(fā)現，等腰直角三角形的三邊之間具有一種特殊的關系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和．教師提問：上面我們研究了等腰直角三角形三邊的性質，但是等腰直角三角形是一種特殊的直角三角形，對于一般的直角三角形是否也有這樣的性質呢？請同學們觀察圖18．1-2，設定每個小方格的面積均為

3、1，（1）分別計算圖中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面積；（2）觀察其中的規(guī)律，你能得出什么結論？與同伴交流．學生活動：分四人小組，討論，并踴躍發(fā)表自己的看法．思路點撥：實際上，以斜邊為邊長的正方形的面積，等于某個正方形的面積減去4個直角三角形的面積．【設計意圖】通過歷史情境引入，使學生感受到古代文明的成就．在大自然中，看似平淡無奇的現象有時卻隱藏著深刻的哲理，激發(fā)學生的求知欲．二、合作探究，體驗發(fā)現【問題牽引】猜想：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．（命題1）教師活動：介紹我國的趙爽證法，充分應用拼圖（課本P74圖18．1-3

4、），解釋“命題1”的，讓學生領悟勾股定理的推理；為了加深學生對勾股定理的理解，設計下面的“閱讀理解”．閱讀與填空：（顯示投影片3）全世界許多國家的數學家以及數學愛好者都曾為勾股定理的證明付出過努力，作出過貢獻，這使得這一定理至今已有幾百種不同的證法．下面介紹的是古希臘數學家歐幾里得（公元前330～前275年）給出的證明．為了使讀者更好地理解這個證明，并且從中獲得提高幾何證題能力與思維能力的收獲，對證明過程做了一些推想，請讀者邊閱讀，邊思考，并完成填空．為了使閱讀能夠順利進行，首先來做一項準備工作，即對圖的局部做如下分析：圖中的四邊形BHJC是正方形，作HM⊥AB，交AB的延

5、長線于M，在△CBK與△BHM中，∵BC=BH，∠CBK=∠_____（填∠BHN），∠CKB=∠BMH，∴△CBK≌△BHM（）（填AAS）．∴BK=HM．現在來看歐幾里得是怎樣證明勾股定理的．這位幾何大師的出發(fā)點，與課本中用拼圖方法給出的證明的出發(fā)點是相同的：都是把一條線段的平方看作是以這條線段為邊的________（填：正方形的面積）．從這樣的想法出發(fā)，歐幾里得是為了證明“a2+b2=c2”，分別以Rt△ABC的三邊為邊向三角形外作正方形（如圖）．歐幾里得可能是想到當一條直線從AE所在直線的位置開始，在保持與AE平行的前提下逐步向BD移動時，一定有一個時刻，把正方形A

6、BDE分成的兩部分的面積恰好分別等于a和b．上述特殊的位置究竟在何處呢？歐幾里得大概是注意到了圖形中一個極為特殊的點──點C，決定仔細考慮過點C并且與ED垂直的直線．于是，歐幾里得首先引出這樣輔助線：過點C作CL⊥ED，交AB于K，交ED于L．下面是這位杰出的數學家在引出上述輔助線后繼續(xù)進行探索的結晶．連結CH、AH、KD，則由∠ACB=90°及四邊形CBHJ知AC∥BH，點A與點C到直線BH的距離_______（填：相等），又因為△ABH與△CBH有公共邊________（填BH），所以S△ABH=S△CBH（）（填：等底等高面積相等）；再把△ABH看作是以AB為底的三角

7、形，則其高為_______（填HM），由于AB=_______（填BD），HM=_______（填：BK），所以，S△ABH=S△BDK（）（等底等高面積相等），∴S△BDK=S△CBH（）（填：等量代換）．而S△CBH=a2，S△BDK=S矩形DBKL，∴a2=S矩形DBKL①同理可證，b2=S矩形AELK②．把①②相加，就得到a2+b2=S長方形DBKL+S長方形AELK，即a2+b2=c2．學生活動：閱讀填空，從中吸引勾股定理的證明方法，加深對勾股定理的領悟．【設計意圖】“趙爽證法”以教師講解為主，學生參與分