第十八章勾股定理

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1、第十八章勾股定理18.1勾股定理第一課時(shí)勾股定理（一）一、回眸歷史，感悟輝煌【顯示投影片1】?jī)?nèi)容1：公元前572～前492年，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，他在一次朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中用了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們一起來(lái)觀察圖中的地面（顯示投影圖片a），你能發(fā)現(xiàn)什么呢？（圖片見課本圖P72）．【活動(dòng)方略】教師活動(dòng)：操作投影儀，講述畢達(dá)哥拉斯的故事（上網(wǎng)收集），引導(dǎo)學(xué)生觀察該圖片，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題．學(xué)生活動(dòng)：觀察、聽取老師的講述，從中發(fā)現(xiàn)圖片a中含有許多大大小小的等腰直角三角形．內(nèi)容2：用圖片置示學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)發(fā)現(xiàn)．教師活動(dòng)

2、：教師提問(wèn)：同學(xué)們，你能發(fā)現(xiàn)課本圖18．1-1中的等腰直角三角形有什么性質(zhì)嗎？學(xué)生活動(dòng)：與同伴合作探討，從網(wǎng)格圖中不難發(fā)現(xiàn)下面的現(xiàn)象：圖18．1-1右邊的三個(gè)正方形SⅠ=SⅡ，SⅢ=SⅠ+SⅡ，即以等腰直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積．教師小結(jié)：從圖18-1-1，我們發(fā)現(xiàn)，等腰直角三角形的三邊之間具有一種特殊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和．教師提問(wèn)：上面我們研究了等腰直角三角形三邊的性質(zhì)，但是等腰直角三角形是一種特殊的直角三角形，對(duì)于一般的直角三角形是否也有這樣的性質(zhì)呢？請(qǐng)同學(xué)們觀察圖18．1-2，設(shè)定每個(gè)小方格的面積均為

3、1，（1）分別計(jì)算圖中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面積；（2）觀察其中的規(guī)律，你能得出什么結(jié)論？與同伴交流．學(xué)生活動(dòng)：分四人小組，討論，并踴躍發(fā)表自己的看法．思路點(diǎn)撥：實(shí)際上，以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，等于某個(gè)正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)歷史情境引入，使學(xué)生感受到古代文明的成就．在大自然中，看似平淡無(wú)奇的現(xiàn)象有時(shí)卻隱藏著深刻的哲理，激發(fā)學(xué)生的求知欲．二、合作探究，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)【問(wèn)題牽引】猜想：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．（命題1）教師活動(dòng)：介紹我國(guó)的趙爽證法，充分應(yīng)用拼圖（課本P74圖18．1-3

4、），解釋“命題1”的，讓學(xué)生領(lǐng)悟勾股定理的推理；為了加深學(xué)生對(duì)勾股定理的理解，設(shè)計(jì)下面的“閱讀理解”．閱讀與填空：（顯示投影片3）全世界許多國(guó)家的數(shù)學(xué)家以及數(shù)學(xué)愛好者都曾為勾股定理的證明付出過(guò)努力，作出過(guò)貢獻(xiàn)，這使得這一定理至今已有幾百種不同的證法．下面介紹的是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（公元前330～前275年）給出的證明．為了使讀者更好地理解這個(gè)證明，并且從中獲得提高幾何證題能力與思維能力的收獲，對(duì)證明過(guò)程做了一些推想，請(qǐng)讀者邊閱讀，邊思考，并完成填空．為了使閱讀能夠順利進(jìn)行，首先來(lái)做一項(xiàng)準(zhǔn)備工作，即對(duì)圖的局部做如下分析：圖中的四邊形BHJC是正方形，作HM⊥AB，交AB的延

5、長(zhǎng)線于M，在△CBK與△BHM中，∵BC=BH，∠CBK=∠_____（填∠BHN），∠CKB=∠BMH，∴△CBK≌△BHM（）（填A(yù)AS）．∴BK=HM．現(xiàn)在來(lái)看歐幾里得是怎樣證明勾股定理的．這位幾何大師的出發(fā)點(diǎn)，與課本中用拼圖方法給出的證明的出發(fā)點(diǎn)是相同的：都是把一條線段的平方看作是以這條線段為邊的________（填：正方形的面積）．從這樣的想法出發(fā)，歐幾里得是為了證明“a2+b2=c2”，分別以Rt△ABC的三邊為邊向三角形外作正方形（如圖）．歐幾里得可能是想到當(dāng)一條直線從AE所在直線的位置開始，在保持與AE平行的前提下逐步向BD移動(dòng)時(shí)，一定有一個(gè)時(shí)刻，把正方形A

6、BDE分成的兩部分的面積恰好分別等于a和b．上述特殊的位置究竟在何處呢？歐幾里得大概是注意到了圖形中一個(gè)極為特殊的點(diǎn)──點(diǎn)C，決定仔細(xì)考慮過(guò)點(diǎn)C并且與ED垂直的直線．于是，歐幾里得首先引出這樣輔助線：過(guò)點(diǎn)C作CL⊥ED，交AB于K，交ED于L．下面是這位杰出的數(shù)學(xué)家在引出上述輔助線后繼續(xù)進(jìn)行探索的結(jié)晶．連結(jié)CH、AH、KD，則由∠ACB=90°及四邊形CBHJ知AC∥BH，點(diǎn)A與點(diǎn)C到直線BH的距離_______（填：相等），又因?yàn)椤鰽BH與△CBH有公共邊________（填BH），所以S△ABH=S△CBH（）（填：等底等高面積相等）；再把△ABH看作是以AB為底的三角

7、形，則其高為_______（填HM），由于AB=_______（填BD），HM=_______（填：BK），所以，S△ABH=S△BDK（）（等底等高面積相等），∴S△BDK=S△CBH（）（填：等量代換）．而S△CBH=a2，S△BDK=S矩形DBKL，∴a2=S矩形DBKL①同理可證，b2=S矩形AELK②．把①②相加，就得到a2+b2=S長(zhǎng)方形DBKL+S長(zhǎng)方形AELK，即a2+b2=c2．學(xué)生活動(dòng)：閱讀填空，從中吸引勾股定理的證明方法，加深對(duì)勾股定理的領(lǐng)悟．【設(shè)計(jì)意圖】“趙爽證法”以教師講解為主，學(xué)生參與分