k5用函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列 ( 劉若菡)

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1、知識(shí)就是力量本文為自本人珍藏版權(quán)所有僅供參考用函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列溫州七中劉若菡設(shè)計(jì)立意及思路：數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸。它是定義在自然集或它的子集{1，2，…，n}上的函數(shù)。對(duì)于等差數(shù)列而言，可以把它看作自然數(shù)n的“一次函數(shù)”，前n項(xiàng)和是自然數(shù)n的“二次函數(shù)”。等比數(shù)列可看作自然數(shù)n的“指數(shù)函數(shù)”。因此，學(xué)過(guò)數(shù)列后，一方面對(duì)函數(shù)概念加深了解，拓寬了學(xué)生的知識(shí)范圍；另一方面也為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中有關(guān)級(jí)數(shù)的知識(shí)和解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些實(shí)際問(wèn)題打下了基礎(chǔ)。高考考點(diǎn)回顧1．與二次函數(shù)有關(guān)的等差數(shù)列的問(wèn)題（2004年重慶卷）若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a

2、1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,則使前n項(xiàng)和Sn成立的最大自然數(shù)n是()(A)4005(B)4006(C)4007(D)4008（1992年全國(guó)高考試題）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12，S12>0,S13<0。（1）求公差d的取值范圍(2)指出S1，S2,...,Sn中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。（2002年上海春季高考題）設(shè)｛an｝(n∈N)是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,且S5S5(

3、D)S6與S7均為Sn的最大值2．與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的數(shù)列問(wèn)題（2002年上海卷）已知函數(shù)f(x)=a·bx的圖象過(guò)點(diǎn)A（4，）和B（5，1）（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）記an=log2f(n),n是正整數(shù)，Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，解關(guān)于n的不等式anSn≤0；（3）（文）對(duì)于（2）中的an與Sn，整數(shù)96是否為數(shù)列｛anSn｝中的項(xiàng)？若是，則求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。（理）對(duì)于（2）中的an與Sn，整數(shù)104是否為數(shù)列｛anSn｝中的項(xiàng)？若是，則求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。3.用函數(shù)觀點(diǎn)解數(shù)列應(yīng)用題基礎(chǔ)知識(shí)

4、梳理：1.關(guān)于等差數(shù)列{an}(1)通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d,可以寫成an=dn+(a1-d)。它是n的一次函數(shù)，以（n,an）為坐標(biāo)的一群離散點(diǎn)均勻地分布在直線上。公差d=是相應(yīng)直線的斜率。當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列遞增；當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列遞減；當(dāng)d=0時(shí)，{an}為常數(shù)數(shù)列。（2）求和公式Sn=na1+d,可以寫成Sn=n2+(a1-)n。13知識(shí)就是力量它是n的二次函數(shù)（缺常數(shù)項(xiàng)），它的圖象是過(guò)原點(diǎn)的拋物線上的一群孤立點(diǎn)。從函數(shù)的角度理解，Sn=na1+d變形為Sn=n2+(a1-)n。當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式，且常數(shù)項(xiàng)為零。此時(shí)

5、，可以應(yīng)用相應(yīng)二次函數(shù)的圖象了解Sn的增減變化及最值等問(wèn)題。當(dāng)d=0時(shí)，{an}是常數(shù)列，Sn=na1,此時(shí)，若a1≠0,則Sn是關(guān)于n的一次式；若a1=0,則Sn=0。1.關(guān)于等比數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an=a1qn-1,可以寫成an=·qn(n∈N*)。當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，y=qx(x∈R)是指數(shù)函數(shù)，而y=·qx(x∈R)是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此an=·qn(n∈N*)的圖象是函數(shù)y=·qx(xR)的圖象上的一群孤立點(diǎn)。很明顯，若>0,當(dāng)q>1時(shí)，數(shù)列遞增；當(dāng)0

6、1<0,且S5=S13,試問(wèn)這數(shù)列的前幾項(xiàng)之和最??？思路導(dǎo)引：先讓學(xué)生猜想等差數(shù)列{an}的單調(diào)性，學(xué)生能預(yù)測(cè){an}是首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列。因此，要找到這個(gè)數(shù)列中小于零的所有項(xiàng)中的最后一項(xiàng)。而an=a1+(n-1)d，an的值與a1、d有關(guān)，所以先由已知條件S5=S13求出a1與d的關(guān)系解法一設(shè)公差為d，由S5=S13,有13知識(shí)就是力量5a+=13a1+由此得a1=-，而a1<0,故d>0,即{an}是首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列。因此，當(dāng)an≤0且an+1>0時(shí)，Sn有最小值，即需-+(n-1)d≤0,-+nd>0,解得

7、，此數(shù)列的前9項(xiàng)之和最小。思路導(dǎo)引：因?yàn)閟n是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)，所以也可以利用二次函數(shù)求最值的方法來(lái)求sn的最小值解法二由解法一已得a1=-,且d>0,所以Sn=na1+d=-+-n=n2-9dn=(n2-18n)=(n-9)2-.由此可知，當(dāng)n=9時(shí)，Sn最小。思路導(dǎo)引：既然sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)，那么，能否結(jié)合二次函數(shù)的圖象來(lái)解決本題？（教師畫出開(kāi)口向下且過(guò)原點(diǎn)的拋物線）從函數(shù)的角度看，已知條件中S5=S13意味著什么？引導(dǎo)學(xué)生得出，說(shuō)明在二次函數(shù)Sn=n2+(a1-)n中，當(dāng)n=5與n=13時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等。（教師在畫出的

8、拋物線上描出這兩點(diǎn)）描出這兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察拋物線的對(duì)稱軸位置解法三已知S5=S13，而Sn是n的二次函數(shù)（二次項(xiàng)系數(shù)>0）,由拋物線的對(duì)稱性可得其對(duì)稱軸方程為n=