用函數(shù)觀點(diǎn)看數(shù)列問(wèn)題

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1、；中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)(高中謗杏)AtATtISTEAC[IIWGANDZRNINGINHIGHSCHOOL用函數(shù)觀點(diǎn)看數(shù)列問(wèn)題林明成樊永剛【作者簡(jiǎn)介】林明成，樊永剛，四川蒼溪中學(xué)(628400)．【原文出處】《數(shù)理化學(xué)習(xí)》：高中版(哈爾濱)，2009．3．4-9函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，它像一根主線貫一一穿于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)中．?dāng)?shù)列是一類定義在正所以=等．整數(shù)集或它的有限子集{1，2，3，?，n}上的特殊函S數(shù)，可見，任何數(shù)列問(wèn)題都蘊(yùn)含著函數(shù)的本質(zhì)及意，義，具有函數(shù)的一些固有特征．從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，即：；，解得魯：號(hào)一

2、尋，以它的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶，變動(dòng)地、直觀地研究故=1n(n+1)數(shù)列的一些問(wèn)題，有利于認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)，加深對(duì)函一÷n=÷n2一號(hào)n．?dāng)?shù)概念的理解．例3公差不為零的正項(xiàng)等差數(shù)列{n}的前n一、數(shù)列的本質(zhì)項(xiàng)和為S，正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，它是定義在正n。，=6，?！?6∞，貝0$3o-S15()整數(shù)集或其子集上的函數(shù)，用圖象表示是一群孤立的點(diǎn)．例如，對(duì)于公差不為零的等差數(shù)列{}來(lái)說(shuō)，A．(0，1)B．(0．5，1)它的通項(xiàng)是關(guān)于II,的“一次函數(shù)”，因此它的圖象是C．(1，+∞

3、)D．(0．5，2)均勻地分布在一直線上的離散點(diǎn)；它的前11,項(xiàng)和Js分析：本題關(guān)鍵是比較S如一S與一的是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，且常數(shù)項(xiàng)為零，因此它的大?。畧D象是分布在過(guò)原點(diǎn)的拋物線上的離散點(diǎn)．很明顯，解：因?yàn)閿?shù)列{o}為公差不為零的正項(xiàng)等差數(shù)列，所以口30>口15，又Ⅱ15=65，830=b2o，有b20>65，貝0是關(guān)于n的“一次函數(shù)”．對(duì)于公比不為1的等比等比數(shù)列的公比q>1．?dāng)?shù)列{n}來(lái)說(shuō)，它的通項(xiàng)是關(guān)于n的“指數(shù)型函當(dāng)q>1時(shí)，如圖1，點(diǎn)(n，o)在一直線上，點(diǎn)數(shù)”．(n，b)在一指數(shù)型(下凸)函數(shù)圖

4、象上，^2^，欏41等差數(shù)歹0{Ⅱ}中，o=堡—二(nEpn十qN，P、q為常數(shù))，則P、q應(yīng)滿足的關(guān)系式是．解：=：二三±一(二12(堡=!)考慮到n是關(guān)于n的一次函數(shù)且nN，故圖1pn+q與2n一1是同類因式．因此P+2q=0．結(jié)合圖象，易知nl6+nl7+口l8+?+030>b6+例2設(shè){。}為等差數(shù)列，S為數(shù)列{n}的前67+b8+?+620成立．故選C．項(xiàng)和．已知S：7，S。：75，為數(shù)列{'}的前評(píng)注：用函數(shù)的觀點(diǎn)與數(shù)形結(jié)合的方法解決數(shù)列項(xiàng)和．求．問(wèn)題，?？山沂締?wèn)題本質(zhì)特征，使抽象問(wèn)題具體化．二、數(shù)列的單

5、調(diào)性解：因?yàn)?7，爭(zhēng))、(·s，151，(n，魯)三點(diǎn)共線，在數(shù)列{o}中，如果o>n(a<％)對(duì)n·52·2009．6中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)(高中碡本)MATHs1_EACHINGANDLEARNINGlHIGHscHooLN恒成立，那么稱{}是單調(diào)遞增(遞減)數(shù)列．在可一(n+1)．正項(xiàng)數(shù)列{。}中，如果>1(<1)對(duì)neN‘證明令0=,／1·2+,／2·3+?+恒成立，那么稱{a}是單調(diào)遞增(遞減)數(shù)列．?dāng)?shù)列一導(dǎo)(n+1)．的單調(diào)性可用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)刻畫．例如，公差不為二1零的等差數(shù)列的單調(diào)性與一次函數(shù)的單調(diào)性相同；貝

6、U0+1一n=√(n+1)(n+2)+—}n(n+1)一公比大于零且不等于1的等比數(shù)列的單調(diào)性與指數(shù)型函數(shù)(a>0且a≠1)的單調(diào)性相同．÷(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)一(n+1)>0．二例4已知數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式a=所以數(shù)列{a}是遞增數(shù)列．所以a≥a=，試判斷此數(shù)列是否有最大項(xiàng)，若有，求出一1>0，故得正．三、數(shù)列的最值第幾項(xiàng)最大，若沒有，說(shuō)明理由．運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)求數(shù)列的最值，可以更深刻地解：n+。一。=一2：2．認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)，同時(shí)又能深化函數(shù)的理解．當(dāng)1≤n<8時(shí)，a>a；當(dāng)n=8時(shí)，a=a，

7、例7設(shè)等差數(shù)列{a}滿足3a=5a且口。>0，即08=n9；當(dāng)>8時(shí)，a<8．S為前項(xiàng)之和，則n∈N)中最大的是()由數(shù)列{a}的單調(diào)性知存在最大項(xiàng)，即第8、9項(xiàng)．評(píng)注：上面用了差值比較法，也可用商值比較法．這是與函數(shù)單調(diào)性的處理方法相似．圖2還可以設(shè)第項(xiàng)最大，得{_?！?。，解得：8A．sl0B．s1lC．D．s21La≥a一分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Js是關(guān)于／7,的二次或9．這是與函數(shù)單調(diào)性的處理方法不相同．函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0．因此它的圖象是分布在過(guò)原點(diǎn)例5設(shè)數(shù)列{a}和滿足a。=b．=6，a=的拋物線上的離

8、散點(diǎn)．b=4，a=6，=3，且數(shù)列{a一o}是等差數(shù)列，數(shù)解：由3(al+7d)=5(aI+12)d，列{b一2}是等比數(shù)列，問(wèn)是否存在keN，使a一知20+39d=0，(o，吉)?若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．所以s柏=20(a1+a4o)：20(2a1+39d)=O．由二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象知其最大值解：：2+8·(寺)，。一。=n_