用函數觀點看數列問題.pdf

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1、Vo．6No．1鯉科考教育教學1用函數觀點看數列問題袁斌鋒(江西省新建縣第二中學江西新建330100)摘要：近年來高考教學加強了對函數與數列的交匯題的考查．這就要求考生對等差數列、等比數列與函數的性質要做到心中有數，對于數形結合、分類討論等數學思想方法要相當地熟悉，還需學會利用遞推法求數列的通項公式。關鍵詞：函數；觀點；數列：問題【中圖分類號】G633．6【文獻標識碼】B【文章編號】1671—8437(2014)01—0033—01近年來高考數學加強了對函數與數列的交匯題的考查．數)】列是特殊的函數，利用函數的觀點處理

2、數列問題，簡便易行，這就要求考生對等差數列、等比數列與函數的性質要做到心中有=吉‘1一)=1數，對于數形結合、分類討論等數學思想方法要相當地熟悉．還點評：本題把數列、二次函數的最值、直線的斜率及數列的需學會利用遞推法求數列的通項公式。極限等知識交匯在一起，難度大．要求學生對數形結合、數列的例l：若5n和分別表示數列{}和{的前n項的和，數裂項等知識掌握得比較熟練。列{QI}是等差數列，0l=-4，0TI+l=0n一2，且對任意正整數n，例2：已知正項數列{o4中，0：6，點A(an，、／)在拋物線=3S．+4nx+1上

3、；數列{中，點鼠(n，)在過點(0，1)，以方向向量為(1)求數列{bn】的通項公式；(1，2)的直線上。(2)在平面直角坐標系內，直線的斜率為，且與曲線(1)求數列{，{bn1的通項公式；有且僅有一個交點，與y軸交于點，記dn=IDnf，求；c2，若，c，={乏：：；是否存在keN,使／c7：c3，求(‘+矗+．．。+擊))成立?若存在，求出丘值；若不存在，說明理由。解答：(1)由已知知數列{l的公差是一2，則o,=--4+(n-1)×(一2)=一2(n+1))對任意正整數不等式(1~／nI_+l一又因為3S．+4n

4、，所以當n=l時，bl=TI=2Sr．M=3al+4：一8—=：≤0成立，求正數a的取值范圍。當nt>2時，bn=——l=3(sn—sn一。)+4n—4(n一1)=3(—sn-1)+Vn一2+4=30II+4解答：(1)將點A(％，、／)代入f=x+1中得0-件。=l，由于0=一2(n+1)，．．3卜3(n+1)】十4=一6n一2。．．Ⅱl一砜=d=1．‘．0=0I+(n-I)·l=n+5由于b。適合上式，．·．一6n一2(／／∈Ⅳ)又直線l：y=2x+1．·．=2n+l(2)設Z的方程為y=b,x+m，則f與曲線y=

5、x2的交點滿足c2：{_，消去_'r，得oty=o．x+m當為偶數時，k+27為奇數’’．直線f與曲線只有一個交點，．·．A=0，即m=0oo．k+27)-~f(k)．。．k+27+5-~(2k+1)．’．k=4；·．．m一竽測Do(0，一竽)當k為奇數時．k+27為偶數·JD小I_竽_(．竽)I．．2(+27)+1：4(+5)．·．=．}(舍去)綜上，存在唯一的k=4符合條件。[-(6n+8)12一：l4+4I：??+1～5㈤aTM一‘．．~=18n+l5(n∈N)(3)‘·’1=可面1麗即a≤一-=(1+11X／2

6、n+3b1)．．．(1音)1，11、一記，(n)=—(1+)(1+)．．‘(1+)18、18n+1518n+33x／2n+3D1D2DnT；~lim(1+酉I+．．’+1-)?則，(n+1)：—V'2n+5(1+b)(1+)．．-(1+)(1+)x=l—im【1一1)一(奇一a66)+．-．+(一一33一V0．6No．1娌鉚棠船考教育教學13“2)，與原遞推式比較司得：Al一1，A2=l，亦即原遞推式司，殳_=·．等‘麗2n+4為o,m~3+1=2(％一3+1)，則數列(一3“+l}是以a廣3+1=2為首里一一~2+1

7、6n+16>1項，公比是2的等比數列，于是Q3n+l-2“，亦即％=3n+2“一1：一～、／·X／2n+~一、／(3)由于=雨1‘．．n+1)>，(n)，即n)遞增。則1=1r=<1=，·‘n)去。}且=11～>，O

8、-2=O，設0l-4。(1)用表示I；(2)求{1111++11)=的通項公式；(3)設{L}J}的前n項為sn，證明：當11I>2時，恒有=十¨·+-(1一1)>1手s<(1一1)=吾解答：(1)x．．x'是方程一+lX(3n+1)=0的兩個根．‘}叢則xl+x2=0”L，x1．：代入x1+x2+xlx2：O中，得，點評：本題用