淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的最值問題

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1、淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的最值問題　　摘要：最值問題在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及面廣，綜合性強(qiáng)。為了讓學(xué)生能在解決最值問題中表現(xiàn)出奇妙的作用，下面以我若干年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)問題的不同情況，變繁為簡(jiǎn)，化難為易，結(jié)合課本談?wù)勛钪祮栴}在教學(xué)中一些規(guī)律性，以供參考?！　￡P(guān)鍵詞：最值問題；數(shù)學(xué)教學(xué)；舉例　　一、靈活應(yīng)用不等式轉(zhuǎn)換　　例1.設(shè)且，求的最大值?！　》治觯鹤⒁獾讲皇嵌ㄖ?，而條件中無根號(hào)，因而想到去掉根號(hào)湊成的形式?！　∫话愕模寒?dāng)且，則的最大值是（其中都是常數(shù)）　　此例可見靈活應(yīng)用不等式并不是無目標(biāo)的猜想，其要求我們不墨守陳規(guī)，化生疏為熟悉，在推理過程中做到嚴(yán)密正確?！　《⒑侠硎褂门浞椒ā　±?.求函數(shù)的最值?！?/p>

2、　在應(yīng)用配方法前，注意隱含條件的思維方法，不可盲目使用導(dǎo)致最值的擴(kuò)大或縮小，注意條件的嚴(yán)密性?！　∪⒊浞掷脭?shù)形結(jié)合　　例3.求函數(shù)的最小值　?、龠x取坐標(biāo)的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性　?、谵D(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思維的靈活性　　四、謹(jǐn)慎使用判別式法　　例4.求函數(shù)的最值　?、儆门袆e式法求函數(shù)最值時(shí)，解△0中，其“>”與“=”有一個(gè)成立即可。故寫出最值時(shí)，務(wù)必考慮到它的“極端”情況“=”能否成立?！　、谟捎诤瘮?shù)到方程，中間將有個(gè)變形（不一定是恒等變形）過程，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，在解關(guān)于的不等式?！　、廴艉鲆曤[含條件就容易出錯(cuò)，故務(wù)必考慮到其函數(shù)本身的取值，應(yīng)謹(jǐn)慎使用?！　∥濉⒑侠硎褂脫Q元法　　當(dāng)已知函數(shù)的次數(shù)較高，

3、則想方設(shè)法降次是必須解決的任務(wù)。所以應(yīng)用換元將是一個(gè)有力的工具。　　例5.求函數(shù)的最值。　　六、奇妙的增量代換法　　例6.求函數(shù)的最大值和最小值?！　〗猓汉瘮?shù)的定義域是。所以是4與一個(gè)增量之和，且這個(gè)增量在內(nèi)取值?！　‘?dāng)時(shí)，取得最大值2；　　當(dāng)時(shí)，其的最小值1?！　±迷隽看鷵Q法取得來解決和處理最值問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要方法，可表現(xiàn)出奇妙的作用?！　∑?、利用導(dǎo)數(shù)求最值　　例7.一個(gè)容器，下半部是圓柱上半部是半球，且圓柱底面半徑和半球的半徑相等；設(shè)容器的表面積為s，問圓柱的高與底面半徑之比為何值時(shí)，容器的容量最大？　　解：設(shè)圓柱的高為h。底面半徑為R，則　　∴（1）　　容器的容積（2）　　

4、把（1）代入（2），整理得　　∴　　令，即解得（舍去負(fù)值）?！　〗?jīng)檢驗(yàn)，這個(gè)R值能使V有最大值，代入（1）得　　故當(dāng)時(shí)，容器容積最大?！　“?、應(yīng)用函數(shù)求最值　　例8.已知所在平面內(nèi)有一條直線過其直角頂尖，且在直線的同一側(cè)，求以為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的最大體積?！　〗猓核眯D(zhuǎn)體的體積等于一個(gè)圓臺(tái)的體積減去一個(gè)小圓錐和一個(gè)大圓錐的體積，分別通過A.B做的垂線，垂足為D.E，設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為，大、小圓錐的高分別為，設(shè)，則　　故所得旋轉(zhuǎn)體的體積為　　上兩例，不管用導(dǎo)數(shù)還是有界函數(shù)求最值，都選擇了某一幾何量作為自變量，建立函數(shù)解析式。這是求最值問題的一種有效方法?！　【?、以市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)為背景　　例9

5、.某旅行社在某地組織旅游團(tuán)到北京參觀，共需6天，每人往返機(jī)票、食宿費(fèi)、參觀門票等費(fèi)用共需3200元，如果每人收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為4600元。則只有20人參加旅游團(tuán)；高于4600元時(shí)，沒有人參加，如果每人收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)從4600元降低100元，參加旅游團(tuán)人數(shù)就增加10人；試問：每人收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為多少時(shí)，該旅行社所獲得利潤(rùn)最大？　?。毟呓滩幕A(chǔ)版第一冊(cè)P137第32題）　　解這類營(yíng)銷應(yīng)用問題需理解有關(guān)名詞的含義，如“利潤(rùn)=銷售價(jià)-成本價(jià)”，掌握有關(guān)函數(shù)及計(jì)算方法：　　解：設(shè)每人收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元，則收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下降了4600-元，旅游團(tuán)人數(shù)增加了人，根據(jù)題意得利潤(rùn)（元）與收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（元）的函數(shù)關(guān)系式：　　整理得：　　∴當(dāng)=4

6、000元時(shí)，=6400元　　答：當(dāng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為4000元時(shí)，該旅行社所獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6400元?！　【C上各例，無論用哪種方法求最值，奇妙的規(guī)律性是解決最值問題的關(guān)鍵；我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)積極培養(yǎng)學(xué)生的洞察能力來處理不同題型，才能進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量?！　⒖嘉墨I(xiàn)　　[1]蘇居寧.《立體幾何中的最值問題》《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》1996-8　　[2]邱志明.《關(guān)于函數(shù)最值問題的教學(xué)》.《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2003-10　　[3]邱潤(rùn)發(fā).《用函數(shù)解決市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的最值問題》.《數(shù)學(xué)通訊》2005-2　　______________　　收稿日期：2013-05-21