淺談最值問題.doc

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1、淺談最值問題1學(xué)情說明適用對象：對最值問題已有一定認(rèn)知基礎(chǔ)與分析能力的九年級學(xué)生。設(shè)計(jì)思想：一方面，最值問題是初中教學(xué)的一大難點(diǎn)，也是中考命題的知識綜合的結(jié)合點(diǎn)和能力考查的區(qū)分點(diǎn)，素有“綜合性強(qiáng)、難度大和區(qū)分度高”等典型特點(diǎn)；另一方面，專題復(fù)習(xí)主要用于中考的最后沖刺，目的在于掌握方法和提升能力。因此本著“突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、立意在先、選題在后”的基本設(shè)計(jì)原則，所選例題兼顧了知識的覆蓋率（詳見教學(xué)設(shè)計(jì)中的標(biāo)題）、問題的多樣化（涵蓋了“路程最短、周長最小、面積最大、造價(jià)最低、用時(shí)最短”等）和能力的發(fā)展性（以傳授轉(zhuǎn)化策略培養(yǎng)思維調(diào)控力、以教會“怎樣想”提升問題分析力、以探究思路自然生成強(qiáng)

2、化學(xué)習(xí)力等），以便“有效構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，深度提煉思想方法和全面提升綜合學(xué)力”。具體實(shí)施時(shí)可針對學(xué)情適度選取而因材施教，著重講清“怎么想到這樣做”，即從知識轉(zhuǎn)化角度著重剖析解題思路自然的生成過程。教學(xué)目標(biāo)：本專題分兩課時(shí)兩模塊完成，第1課時(shí)為知識溯源模塊，即從知識轉(zhuǎn)化角度，借助例1~例5的講解，引導(dǎo)學(xué)生掌握處理最值問題的四大基本知識源（見教學(xué)設(shè)計(jì)中的標(biāo)題），明確解決最值問題的思考方向；第2課時(shí)為能力轉(zhuǎn)化模塊，即通過例6~例8的分析，著重訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用基本知識源解題的轉(zhuǎn)化技巧，調(diào)控受阻思維，拓寬解題思路，提升處理最值問題的綜合能力。2教學(xué)設(shè)計(jì)第一課時(shí)本課時(shí)主要復(fù)習(xí)處理最值問題的知識源，明確

3、解題方向。2.1運(yùn)用知識源“兩點(diǎn)之間線段最短”處理例1　（2014年·黔東南州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，A（1，0）、B（2，0）是x軸上兩點(diǎn)，則PA+PB的最小值為。功能分析：掌握利用知識源“兩點(diǎn)之間線段最短”和對稱性處理“直線上一動(dòng)點(diǎn)到直線同側(cè)兩定點(diǎn)距離之和最小值”問題的基本策略。解答要點(diǎn)：輔助線如圖1所示，易知A1的坐標(biāo)為（0，1），則PA+PB的最小值為A1B=。教學(xué)建議：本題求解并不難，著力點(diǎn)有二：其一怎么想到構(gòu)造點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)A1（根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，當(dāng)點(diǎn)P位于線段AB上時(shí)，其和最小；又點(diǎn)P在直線y=x上，所以點(diǎn)P應(yīng)是

4、兩者的交點(diǎn)。但A、B位于直線y=x的同側(cè)，再者沒有交點(diǎn)，故需利用線段的等量變換把兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線的兩側(cè)。而常見的等量變換有“平移”“翻折”和“旋轉(zhuǎn)”，結(jié)合條件和圖形特征，本題宜選擇“翻折”，即作點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對稱點(diǎn)A1）；其二如何求︱PA-PB︱和︱PA1-PB︱的最大值（本變式主要強(qiáng)化對作對稱點(diǎn)的必要性與本質(zhì)的理解）。2．2運(yùn)用知識源“垂線段最短”處理例2(2015年·綏化)如圖2，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5。若點(diǎn)M、N分別是線段AC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為（）A．10B．8C.D．6功能分析：在例1的基礎(chǔ)上適度拓展，不僅可鞏固上一知識源和解題方法

5、，而且也為培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“垂線段最短”處理最值問題的分析能力奠定了基礎(chǔ)。解答要點(diǎn)：輔助線如圖2所示，其中點(diǎn)B、B1關(guān)于AC對稱，B1F⊥AB于點(diǎn)F，則BM+MN=B1M+MN≥B1N≥B1F。由S△ABC=BE?AC=AB?BC，得BE=，則BB1=。由勾股定理求得AE=和S△ABB1=AE?BB1=AB?B1F得B1F=8。故BM+MN的最小值為8，即選B。教學(xué)建議：與例1相比，本題的難點(diǎn)在于除動(dòng)點(diǎn)M外點(diǎn)N也在運(yùn)動(dòng)，給解題制造了不小的障礙。教學(xué)中可先作“退化”處理，即把N視為定點(diǎn)，類比例1可作出點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B1，且得BM+MN≥B1N；再讓N點(diǎn)動(dòng)起來，則問題轉(zhuǎn)化為“求直線上

6、一動(dòng)點(diǎn)到直線外一定點(diǎn)距離的最小值”，根據(jù)知識源“垂線段最短”，作AB的垂線B1F也就水到渠成了。另外，如何求B1F的長是本題的另一大難點(diǎn)。課堂上可依托方程思想，引導(dǎo)學(xué)生利用垂直與對稱挖掘相等關(guān)系，構(gòu)建方程（組）。當(dāng)然本題也可用相似三角形對應(yīng)邊成比例列方程（組）求BE和B1F的值。2.3運(yùn)用知識源“平面內(nèi)一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中，到過該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長”處理例3(2015年·武漢)如圖3，△ABC、△EFG是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M。當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長的最小值是（）A．2-B．+1C．D．-

7、1功能分析：培養(yǎng)學(xué)生解決平面內(nèi)圓上動(dòng)點(diǎn)與非圓上定點(diǎn)間距離最值問題的能力。解答要點(diǎn)：輔助線如圖4所示，由DC=DF、DA=DG得，又∠CDF=∠ADG，故△DCF∽△DAG，得∠DCF=∠DAG，則∠DAG+∠DCM=180°。又∠ADC=90°，所以∠AMC=90°，故點(diǎn)M的軌跡是以AC為直徑的⊙O。聯(lián)結(jié)BO，交⊙O于N點(diǎn)，則BM≥BN。又由等邊三角形的性質(zhì)可得BO=，所以BM的最小值為-1，故選D。教學(xué)建議：本題確定點(diǎn)M的軌跡形狀是難點(diǎn)，一旦確定其軌跡為圓后求最小值