資源描述：
《泛函分析答案2：new》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、泛函分析期末復(fù)習(xí)題（2005-2006年度）（1）所有矩陣可以構(gòu)成一個(gè)線性空間。試問(wèn)這個(gè)線性空間中的零元素是什么？（2）什么是線性空間的子空間？子空間是否一定包含零元素？為什么？（3）什么是線性流形？（4）什么是線性空間中的凸集？（5）如果一個(gè)度量能夠成為一個(gè)線性空間上定義的距離，那么這個(gè)度量必須滿足什么條件？試給出幾個(gè)在維歐幾里德空間上常用的距離定義（6）距離空間上的收斂是如何定義的？（7）線性空間上定義的范數(shù)必須滿足哪些條件？（8）什么是巴拿赫空間？賦范空間中的基本列一定收斂嗎？（9）有限維的線性賦范空間都是巴拿赫空間嗎？（10）什么是希爾伯特空間？（11
2、）空間是如何構(gòu)成的？在怎樣的內(nèi)積定義下其可以成為一個(gè)希爾伯特空間？（12）什么是算子？為什么要求算子的定義域是一個(gè)子空間？（13）算子的范數(shù)是如何定義的？從直觀角度談?wù)剬?duì)算子范數(shù)定義的理解。（14）線性算子的零空間一定是值域空間中的子空間嗎？（15）什么是有界算子？舉一個(gè)無(wú)界算子的例子。（16）算子的強(qiáng)收斂是如何定義的？（17）設(shè)為一個(gè)線性賦范空間，而為一個(gè)Banach空間。那么從到的線性算子所構(gòu)成的空間是否構(gòu)成一個(gè)Banach空間？（18）什么是壓縮映像原理？它在力學(xué)中有什么重要應(yīng)用？（19）什么是泛函？什么是泛函的范數(shù)？（20）什么是線性賦泛空間的共軛空間
3、？線性賦泛空間的共軛空間是否總是完備的？（21）什么是弱收斂？弱收斂與強(qiáng)收斂之間是什么關(guān)系？（22）什么是的Gateaux微分？（23）什么是泛函的（一階）變分？它是如何定義的？（24）形如的泛函，其對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程是什么？（25）什么是結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能密度？什么是余能密度？二者關(guān)系如何？試畫圖說(shuō)明。（26）有限元方法的本質(zhì)是什么？瑞茲＋具有局部緊支集的分片插值函數(shù)（27）什么是最小勢(shì)能原理？最小勢(shì)能原理中的基本未知函數(shù)是什么？對(duì)這些基本未知函數(shù)有什么要求？推導(dǎo)并證明使得勢(shì)能泛函取最小值的位移函數(shù)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)真實(shí)的位移場(chǎng)。（28）什么是最小余能原
4、理？最小余能原理中的基本未知函數(shù)是什么？對(duì)這些基本未知函數(shù)有什么要求？推導(dǎo)并證明使得余能泛函取最小值的位移函數(shù)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)。（29）什么是Hellinger-Reissner混合變分原理？推導(dǎo)并證明使得余能泛函取最小值的位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)真實(shí)的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)。6泛函分析答案：1、所有元素均為0的n×n矩陣2、設(shè)E為一線性空間，L是E中的一個(gè)子集，若對(duì)任意的x，y∈L，以及變數(shù)λ和μ均有λx＋μy∈L，則L稱為線性空間E的一個(gè)子空間。子空間心室包含零元素，因?yàn)楫?dāng)λ和μ均為0時(shí)，λx＋μy＝0∈L，則L必定含零元素。3、設(shè)L是線性空間E的子空間，x
5、0∈EL，則集合x0+L={x0+l，l∈L}稱為E中一個(gè)線性流形。4、設(shè)M是線性空間E中一個(gè)集合，如果對(duì)任何x，y∈M，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx＋μy∈M，則稱M為E中的凸集。5、設(shè)x，y是線性空間E中的兩個(gè)元素，d(x，y)為其之間的距離，它必須滿足以下條件：（1）非負(fù)性：d(x，y)＞0，且d(x，y)＝0＜―――＞x=y（2）對(duì)稱性：d(x，y)=d(y，x)（3）三角不等式：d(x，y)≤d(x，z)+d(y，z)foreveryx，y，z∈En維歐幾里德空間常用距離定義：設(shè)x={x1，x2，…xn}T，y={y1y2，…y
6、n}Td2(x，y)=()1/2d1(x，y)=dp(x，y)=()1/pd∞(x，y)=6、距離空間(x，d)中的點(diǎn)列{xn}收斂到x0是指d(xn，x0)à0(nà∞)，這時(shí)記作，或簡(jiǎn)單地記作xnàx07、設(shè)
7、
8、x
9、
10、是線性空間E中的任何一個(gè)元素x的范數(shù)，其須滿足以下條件： （1）
11、
12、x
13、
14、≥0，且
15、
16、x
17、
18、＝0 iffx=0（2）
19、
20、λx
21、
22、=λ
23、
24、x
25、
26、，λ為常數(shù)?。?）
27、
28、x+y
29、
30、≤
31、
32、x
33、
34、+
35、
36、y
37、
38、，foreveryx，y∈E8、設(shè)E為線性賦范空間，｛xn｝∞n=1是其中的一個(gè)無(wú)窮列，如果對(duì)于任何ε>0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N，m>N時(shí)
39、，均有
40、xm-xn
41、<ε，則稱序列{xn}是E中的基本列。若E的基本列的收斂元仍屬于E，則稱E為完備的線性賦范空間，即為Banach空間。線性賦范空間中的基本列不一定收斂。9、有限維的線性賦范空間必然完備，所以它必定是Banach空間。10、如果內(nèi)積空間能在由內(nèi)積誘導(dǎo)的賦范空間完備，則此內(nèi)積空間稱為Hilbert空間。11、L2（a，b）為定義在(a，b)上平方可積函數(shù)空間，即設(shè)f(t)∈L2（a，b），＜∞。當(dāng)L2（a，b）中內(nèi)積的定義為（f，g）=(其中f(t)，g(t)∈L2（a，b）)時(shí)其為Hilbert空間。★12、算子表示一種作用，一種映射。設(shè)X和
42、Y是給定的兩個(gè)線性賦范空間，集合DX，
