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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)02.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、（1）定義：D（X）=1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;2.若k是常數(shù),則D(kX)=k2D(X);3.若X1與X2獨(dú)立，則D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);復(fù)習(xí)：方差（2）計(jì)算：方法2:方法1：由定義（3）性質(zhì)：一般地：D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。(3)泊松分布:(1)(0-1)分布:D(X)=p(1-p)(2)二項(xiàng)分布:D(X)=np(1-p)D(X)=(4)正態(tài)分布:(5)均勻分布:D(X)=D(X)=(6)指數(shù)分布（4）常見分布的方差：
2、(5)切比雪夫不等式設(shè)r.vX具有均值E(X)=?,方差D(X)=?2，則對(duì)??>0,有不等式證明:根據(jù)數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì):證明E(Y)=0,D(Y)=1P99T10：設(shè)E(X),D(X)均存在,且D(X)≠0通常把由r.vX構(gòu)造r.vY的過(guò)程叫做對(duì)r.vX標(biāo)準(zhǔn)化。注意:更重要的是要知道如何將一個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化.§3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)Covarianceandcorrelationcoefficient一、協(xié)方差若X、Y相互獨(dú)立說(shuō)明①對(duì)于r.vX,Y，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)②
3、Cov(X,Y)=0,Cov(X,X)=D(X);Cov(X,k)=0.E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)對(duì)于向量X和Y，期望和方差只反映了變量各自的情況，沒有相互之間的關(guān)系。若X、Y相互獨(dú)立,E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，因此E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}在一定程度上反映了X與Y之間的關(guān)系，稱為X與Y的協(xié)方差。1)用定義式Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}2、計(jì)算方法2)用簡(jiǎn)單公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)為X與Y的協(xié)方差,記作
4、Cov（X，Y），即設(shè)(X,Y)是一隨機(jī)向量，稱E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1、定義:YX-10 1-100例1設(shè)r.vX和Y的聯(lián)合分布律為求Cov(X,Y)解：用公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)①可求出(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣分布律X-103/82/83/81Y-103/82/83/81②∴Cov(X,Y)=0-0=0說(shuō)明：雖然Cov(X,Y)=0，但即X與Y不獨(dú)立。3、性質(zhì)ⅰ)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(對(duì)
5、稱性)ⅱ)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是任意常數(shù)；ⅲ)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)注：協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身的系數(shù)影響.例如：Cov(10X,10Y)=100Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn)，在計(jì)算協(xié)方差時(shí)，先對(duì)X與Y進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.即:實(shí)際上，10X與10Y之間的關(guān)系和X與Y之間的關(guān)系應(yīng)一致。標(biāo)準(zhǔn)化的協(xié)方差稱為X，Y的相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)設(shè)(X,Y)是一隨機(jī)
6、向量，當(dāng)D(X)>0,D(Y)>0,則稱數(shù)值為X,Y的線性相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù).注：1、定義:⑴相關(guān)系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量X*，Y*的協(xié)方差。⑵ρXY沒有單位，只與兩個(gè)r.v有關(guān)，能更好地反映X與Y之間的關(guān)系。2、性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.將e視為關(guān)于a,b的二元函數(shù)，求駐點(diǎn)：解得（*）1）成立。2）成立。要使Y與某個(gè)a+bX最為接近,就是要找a,b使得誤差平方e值最小.證：e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(
7、Y)對(duì)任意的a,b,令刻畫了Y與a+bX的偏離程度若=0，Y與X無(wú)線性關(guān)系;Y與X存在線性關(guān)系;若若0<
8、
9、<1,ρ=0時(shí)，稱X和Y不相關(guān)。由（*）式知，ρXY的含義說(shuō)明：
10、
11、越接近于1,e的值越小,則Y與X的線性相關(guān)程度越高;
12、
13、越接近于0,e的值越大,則Y與X的線性相關(guān)程度越低;1）對(duì)于隨機(jī)變量X,Y，下面事實(shí)是等價(jià)的2)X與Y相互獨(dú)立X與Y不相關(guān)X與Y不相關(guān),只說(shuō)明X與Y之間沒有線性關(guān)系，但可以有非線性關(guān)系；但是若二維r.v③E(XY)=E(X)E(Y);即X與Y不相關(guān)3、重要結(jié)論①Cov(X,Y)
14、=0;②X與Y不相關(guān)；則X與Y相互獨(dú)立④D(X+Y)=D(X)+D(Y).而X與Y獨(dú)立是指X,Y之間既無(wú)線性關(guān)系，也無(wú)非線性關(guān)系，故“獨(dú)立”必然不相關(guān)，但反之不然。例2設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為證明:先求邊緣概率密度函數(shù)fY(y)同理所以f(x,y)?fX(x)fY(y)故X與Y不獨(dú)立驗(yàn)證X與Y不相關(guān),且不相互獨(dú)立。-1１Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0即X與Y不相關(guān)三、幾個(gè)常用的數(shù)字特征1、矩(m
