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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4-3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù).ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、刻劃兩個(gè)隨機(jī)變量間線性相關(guān)程度的數(shù)字特征§3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量兩個(gè)X和Y，若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，則稱E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}r.vX與Y的協(xié)方差，記為Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=0.若X與Y獨(dú)立，例1設(shè)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布律為求Cov(X,Y).XY-101-101P{X=i}1P{Y
2、=j}X,Y的邊緣分布律為解E(X)=0E(Y)=0XY-101-101E(XY)=Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)E(X)=0E(Y)=0XY-101-101例2設(shè)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合概率密度為求Cov(X,Y)E(X)解E(XY)=E(Y)E(X)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(2)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.協(xié)方差的性質(zhì)(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)⑴Cov(X,X)=D(X)a,b是常數(shù)(4)Cov(c,X)=0c是常數(shù)(5)Cov(X1+X2,Y)=(6)D
3、(X+Y)=例如：Cov(kX,kY)=為了克服這一缺點(diǎn)，協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響,k2Cov(X,Y)這就引入了相關(guān)系數(shù).對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，二、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).在不致引起混淆時(shí)，記為.定義:設(shè)(X,Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量，且D(X)>0,D(Y)>0,則稱記為即Cov(X,Y)=0例3設(shè)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布律為XY-101-101求=0解例4設(shè)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合概率密度為求E(Y)E(X)D(X)D(Y)解例4設(shè)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合概率密度為求Cov(X,Y)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：
4、由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對(duì)任意實(shí)數(shù)a,有D(Y-aX)令，則上式為D(Y-aX)=證:0≤=D(Y)+a2D(X)-2aCov(X,Y)D(Y-aX)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對(duì)任意實(shí)數(shù)a,有證:0≤即2.X和Y獨(dú)立時(shí)，=0，但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，故=0但由并不一定能推出X和Y獨(dú)立.Cov(X,Y)=0.X和Y獨(dú)立即若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則則稱X和Y不相關(guān).X和Y獨(dú)立X和Y獨(dú)立X和Y不相關(guān)X和Y不相關(guān)X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)說明：獨(dú)立與不相關(guān)不等價(jià)事實(shí)上，X的密度函數(shù)例設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=co
5、sX,求即X和Y不相關(guān).但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系.X與Y不相關(guān)并不表示它們之間沒有關(guān)系。四、小結(jié)這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度的一個(gè)重要的數(shù)字特征.注意獨(dú)立與不相關(guān)并不是等價(jià)的.當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時(shí)，有X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)
