資源描述：
《概率論與數(shù)理統(tǒng)計4-3協(xié)方差及相關系數(shù).ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在應用文檔-天天文庫。
1、刻劃兩個隨機變量間線性相關程度的數(shù)字特征§3協(xié)方差與相關系數(shù)一、協(xié)方差E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義設有兩個隨機變量兩個X和Y，若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，則稱E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}r.vX與Y的協(xié)方差，記為Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=0.若X與Y獨立，例1設隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律為求Cov(X,Y).XY-101-101P{X=i}1P{Y
2、=j}X,Y的邊緣分布律為解E(X)=0E(Y)=0XY-101-101E(XY)=Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)E(X)=0E(Y)=0XY-101-101例2設隨機變量X,Y的聯(lián)合概率密度為求Cov(X,Y)E(X)解E(XY)=E(Y)E(X)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(2)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.協(xié)方差的性質(zhì)(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)⑴Cov(X,X)=D(X)a,b是常數(shù)(4)Cov(c,X)=0c是常數(shù)(5)Cov(X1+X2,Y)=(6)D
3、(X+Y)=例如：Cov(kX,kY)=為了克服這一缺點，協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關系，但它還受X與Y本身度量單位的影響,k2Cov(X,Y)這就引入了相關系數(shù).對協(xié)方差進行標準化，二、相關系數(shù)為隨機變量X和Y的相關系數(shù).在不致引起混淆時，記為.定義:設(X,Y)是一個二維隨機變量，且D(X)>0,D(Y)>0,則稱記為即Cov(X,Y)=0例3設隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律為XY-101-101求=0解例4設隨機變量X,Y的聯(lián)合概率密度為求E(Y)E(X)D(X)D(Y)解例4設隨機變量X,Y的聯(lián)合概率密度為求Cov(X,Y)相關系數(shù)的性質(zhì)：
4、由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實數(shù)a,有D(Y-aX)令，則上式為D(Y-aX)=證:0≤=D(Y)+a2D(X)-2aCov(X,Y)D(Y-aX)相關系數(shù)的性質(zhì)：由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實數(shù)a,有證:0≤即2.X和Y獨立時，=0，但其逆不真.由于當X和Y獨立時，故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.Cov(X,Y)=0.X和Y獨立即若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則則稱X和Y不相關.X和Y獨立X和Y獨立X和Y不相關X和Y不相關X與Y獨立X與Y不相關說明：獨立與不相關不等價事實上，X的密度函數(shù)例設X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=co
5、sX,求即X和Y不相關.但Y與X有嚴格的函數(shù)關系.X與Y不相關并不表示它們之間沒有關系。四、小結這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關系數(shù)、相關系數(shù)是刻劃兩個變量間線性相關程度的一個重要的數(shù)字特征.注意獨立與不相關并不是等價的.當(X,Y)服從二維正態(tài)分布時，有X與Y獨立X與Y不相關
