夯實(shí)基礎(chǔ)提高能力

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1、夯實(shí)基礎(chǔ)提高能力——數(shù)列復(fù)習(xí)指導(dǎo)（2004年9月13日刊登在《數(shù)字世界報(bào)》高中版）江蘇省天一中學(xué)何志奇從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)從定義為正整數(shù)集（或它的有限子集{1，2，…，n}的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，因此用函數(shù)的知識(shí)來(lái)研究數(shù)列是十分重要的思想方法。數(shù)列：既與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何、二項(xiàng)式定理、極限有較緊密的聯(lián)系，又有自己鮮明的特征。試題形成了綜合性強(qiáng)、立意新、角度寬、難度大的特點(diǎn)，故而在解題中務(wù)必注重基礎(chǔ)、凸現(xiàn)能力。1．注重基礎(chǔ)、凸現(xiàn)能力例1：在等比數(shù)列{an}中，已知a1+a2+a3=8，a4+a

2、5+a6=－4，則數(shù)列前15項(xiàng)的和S15為（）A、B、C、5D、15分析：該題如果運(yùn)用方程的思想，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公比q之后再求S15，則運(yùn)算量較大。若靈活地將原數(shù)列按一定規(guī)律重新組合成一個(gè)新的等比數(shù)列，S15又剛好是新數(shù)列前5項(xiàng)的和，新數(shù)列的首項(xiàng)和公比又容易求得，使得小題巧解，靈活地運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)達(dá)到目的。解析：設(shè)b1=a1+a2+a3=8；b2=a4+a5+a6=－4；…，b5=a13+a14+a15則b1，b2，b3，b4，b5構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為8，公比為－故S15=S5＇=b1+b2+b3+b4+b5=選（A）小結(jié)：客觀題中

3、的數(shù)列問(wèn)題除考查基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況外，還注意考查學(xué)生思維的靈活性，故平時(shí)應(yīng)做到小題巧解，小題活解。練習(xí)1：若無(wú)窮等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，多項(xiàng)和為S，且S=Sn+2an，則{an}的公比為（）A、－B、C、－D、答：（B）練習(xí)2：等比數(shù)列{an}中，a1=512，公比q=－，用πn表示它的前n項(xiàng)之積：πn=a1·a2·…an，則π1，π2，…中最大的是（）A、π11B、π10C、π9D、π8答：（C）2．巧用性質(zhì)解決問(wèn)題例2：數(shù)列{an}，{bn}滿(mǎn)足a1=1，a2=γ（γ＞0），bn=anan+1，且{bn５A(chǔ)GE}是公比為q（q＞0）的

4、等比數(shù)列，設(shè)cn=a2n－1+a2n（n∈N*）（1）求{cn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{dn}的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值.分析：根據(jù){bn}是等比數(shù)列，可列出通項(xiàng)bn，從而得到anan+1，即有數(shù)列{an}的遞推關(guān)系，然后再研究數(shù)列{an}。解析：（1）∵{bn}為等比數(shù)列，公比為q故數(shù)列a1，a3，a5，…，a2n－1和數(shù)列a2，a4，a6，……，a2n都為等比數(shù)列，且公比都是q。故a2n－1=a1qn－1=qn－1，a2n=a2qn－1=γqn－1∴Cn=a2n－1+a2n=qn－1+γqn－1=（γ+1）qn－1（n∈N*）（2）∵γ=219

5、.2－1，q=∴從上式可知，當(dāng)n－20.2＞0，即n≥21（n∈N*）時(shí)，dn隨n增大而減小，故有1＜dn＜d21=1+=2.25…………………………（1）當(dāng)n－20.2＞0，即n≤20（n∈N*）時(shí)，dn也隨n增大而減小，故有1＞dn＞d20=1+=－4…………………………（2）綜合（1）、（2）兩式知，對(duì)任意n∈N*，有d20≤dn≤d21∴{dn}的最大項(xiàng)d21=2.25，最小項(xiàng)d20=－4小結(jié)：（1）數(shù)列{an}是奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比的數(shù)列，但{an}并不一定成等比，若要寫(xiě)出an的通項(xiàng)應(yīng)是一分段函數(shù)５A(chǔ)GE（2）在求的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)時(shí)用

6、的是函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（20.2，1）成中心對(duì)稱(chēng)。當(dāng)x小于20.2而趨向于20.2時(shí)，f（x）趨向于－∞，當(dāng)x大于20.2而趨向于20.2時(shí)，f（x）趨向于+∞，故d20≤dn≤d21，即d21最大，d20最小，數(shù)列是特殊的函數(shù)。練習(xí)3：已知函數(shù)f（x）=logax（a＞0，且a≠1），若數(shù)列2，f(a1)，f(a2)，…，f(an)，2n+4（n＞0，且n∈N）成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（2）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求；（3）令bn=anf（an），當(dāng)a＞1時(shí)，試比較bn與bn－1的大小.

7、答：（1）an=a2n+2；（2）；（3）bn+1＞bn3．結(jié)合解幾探索分析例3：已知數(shù)列{xn}的各項(xiàng)為不等于1的正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為（xn，Sn），若所有這樣的點(diǎn)（Pn=（n=1，2，…）都在斜率為k的同一直線(xiàn)上（常數(shù)k≠0，1）（1）求證：數(shù)列{xn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)（2a2－3a+1）滿(mǎn)足，其中a為常數(shù)，且1＜a＜，而s，t∈N*，且s≠t，試判斷，是否存在自然數(shù)M，使當(dāng)n＞M時(shí)，xn＞1恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：（1）根據(jù)（Sn+1－Sn）：（Xn+1－Xn）=k探求正比；（2）考慮數(shù)

8、列解析：（1）略（2）由知2a2－3a+1∈（0，1）易知 常數(shù)，由已知可得是首項(xiàng)為正數(shù)，公差為－2的遞減的等差數(shù)列，故一