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《小學(xué)奧數(shù)解析十八競賽題選講》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、小學(xué)奧數(shù)解析十八競賽題選講例1計算：1+2+22+23+…+29+210分析這是首項系數(shù)是2的等比數(shù)列求和問題，可采用“錯位相減法”求解．解：設(shè)S=1+2+22+23+…+29+210（1） 用2乘以上式的兩邊可得 2S=2+22+23+…=210+211（2） 用（2）式減去（1）式的兩邊，得 S=（2+22+23+…+210+211）-（1+2+22+23+…+29+210） =211-1 =2048-1 =2047．例2計算：1×0.5+3×（0.5）2+5×（0.5）3+7×（0.5）4+…+17×（0.5）9+19×（0.5）10分
2、析這個和式中的每一項都是兩個數(shù)的乘積，把各乘積的前一個數(shù)依次排在一起構(gòu)成一個公差為2的等差數(shù)列，把各乘積的后一個數(shù)依次排在一起構(gòu)成一個公比是0.5的等比數(shù)列，這種數(shù)列通常稱為混合數(shù)列，它的求和方法也采用“錯位相減法”．解：設(shè)S=1×0.5+3×(0.5)2+5×(0.5)3+…+17×(0.5)9+19×(0.5)10（1） 用2乘以上式的兩邊可得 2S＝1+3×0.5+5×（0.5）2+7×（0.5）3+…+17×（0.5）8+19×（0.5）9（2） 用（2）式減去（1）式的兩邊，得 S=1+2×0.5+2×(0.5)2+2×(0.5)3＋…+
3、2×(0.5)8+2×(0.5)9-19×(0.5)10 =1+1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8-19×（0.5）10 再設(shè)A=1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8（3） 用2乘以（3）式的兩邊可得： 2A=2+1+0.5+…+（0.5）7（4） 用（4）式減去（3）式兩邊，得 A=2-（0.5）8=2-0.00390625=1.99609375 于是，有： S=1+1.99609375-19×（0.5）10 =2.99609375-19×0.0009765625 =2.99609375-0.
4、0185546875 =2.9775390625．例3計算：11×12×13+12×13×14+13×14×15+…+100×101×102解：利用裂項法，有 11×12×13=（11×12×13×14-10×11×12×13）÷4， 12×13×14=（12×13×14×15-11×12×13×14）÷4， 13×14×15=（13×14×15×16-12×13×14×15）÷4， … 100×101×102 =（100×101×102×103-99×100×101×102）÷4， 把這90個等式相加，得 原式=（100×101×102
5、×103-10×11×12×13）÷4 =25×101×102×103-10×11×3×13 =26527650-4290 =26523360．例4規(guī)定a*b=ab（其中a、b都是自然數(shù)），分別計算（5*3）*2和5*（3*2）．解：由5*3=53=125 125*2=1252=15625， 即有 ?。?*3）*2=15625 又由 3*2=32=9， 5*9=59=1953125 即有 5*（3*2）=1953125．例7一個樓梯共有10級臺階，規(guī)定每步可以邁一級臺階或二級臺階，最多可以邁三級臺階．從地面上到最上面一級臺階，共有多少種
6、不同的邁法？分析按照規(guī)定的上樓梯方式，依次考慮樓梯的階數(shù)是1級、2級、3級、4級、…的情況：（用記號an表示n級臺階的樓梯的邁法總數(shù)） ?、佼?dāng)n=1時，顯然只有一種邁法，即a1=1； ②當(dāng)n=2時，可以一步一級地走二步上到最上面一級臺階，也可以一步邁二級直接上到最上面一級臺階，因此共有2種不同的邁法，即 a2=2； ?、郛?dāng)n=3時，可以一步一級地走上樓，也可以一步三級上樓，還可以第一步邁一級、第二步邁二級或第一步邁二級、第二步邁一級上樓，因此共有4種不同的邁法，即 a3＝4； ?、墚?dāng)n=4時，分三種情況來分別討論邁法： 1°若第一步邁一級臺階，則還
7、剩下3級臺階，由③可知有a3=4（種）邁法； 2°若第一步邁二級臺階，則還剩下2級臺階，由②可知有a2=2（種）邁法； 3°若第一步邁三級臺階，則還剩下1級臺階，由①可知有a1=1（種）邁法； 綜合上述，4級臺階的樓梯總共有： a4=a3+a2+a1=4+2+l=7（種） 不同的邁法； ④n=5，6，7，8，9，10時，類似地有： 答：按照規(guī)定的上樓方式，一個有10級臺階的樓梯共有274種不同的邁法． 說明：本例通過研究樓梯的級數(shù)是相鄰自然數(shù)時相應(yīng)邁法之間的關(guān)系，從而由1級、2級、3級臺階的邁法總數(shù)，逐步推導(dǎo)出4級、5級、…、直至10
8、級臺階的樓梯的邁法總數(shù)．這種解決問題的思想方法，通常稱為歸納遞推方
