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《淺談整函數(shù)與亞純函數(shù)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、淺談整函數(shù)與亞純函數(shù)摘要:本文主要介紹整函數(shù)，亞純函數(shù)和它們的相關(guān)定理，推論以及超越整函數(shù)，超越亞純函數(shù)，劉維爾定理，代數(shù)學基本定理等等．關(guān)鍵詞:整函數(shù)；超越整函數(shù)；亞純函數(shù)；超越亞純函數(shù)；劉維爾定理TheDiscussionofIntegralFunctionandMeromorphicFunctionsAbstract:Thispapermainlyintroducesintegralfunctionanditsrelatedtheorem，corollary，transcendentalintegralfunction，meromorphi
2、cfunctionsanditsrelatedtheorem，corollary，transcendentalmeromorphicfunctions，andLiuweiertheorem，algebrafundamentaltheorem，etc．Keywords:Integralfunction;Transcendentalintegralfunction;Meromorphicfunction;Transcendentalmeromorphicfunctions;Liuweiertheorem1整函數(shù)的概念定義1在整個平面上解析的函數(shù)稱為整
3、函數(shù)．例如，多項式，，等都是整函數(shù)．設(shè)為一整函數(shù)，則只以為孤立奇點且有定理1設(shè)為一整函數(shù)，則(1)為的可去奇點的充要條件為常數(shù)，(2)為的階極點的充要條件為是是一個次多項式(3)為的本質(zhì)奇點的充要條件為展式有無窮多個不等于零．由此可見，整函數(shù)族按唯一奇點的不同類型而被分為了三類．例1設(shè)為一整函數(shù)，試證也是一個整函數(shù)．證顯然，在的點上解析．在點，由為一整函數(shù)知，在這一點解析，又有，故在這一點也解析．例2為一整函數(shù)，且滿足下列條件之一，試證必為常數(shù)．(1);(2)在平面上解析;(3)為常數(shù);(4)或為常數(shù)．證(1)對有，從而，故為常數(shù)．(2)設(shè)則解析
4、，易知從而為常數(shù)，故為常數(shù)．(3)若，則顯然．若，則此時有，且，即也是解析函數(shù)，則利用（2）即得．(4)設(shè)若，則．由．--．條件得，因此為常數(shù)．若為常數(shù)，同理可得為常數(shù)．1．1超越整函數(shù)設(shè)為一整函數(shù)，則有若其中有無窮多個不等于零，則為超越整函數(shù)．例如，，，等都是超越整函數(shù)．1．2劉維爾定理有界整函數(shù)必為常數(shù)．證設(shè)的上界為，則在柯西不等式中，對無論什么樣的R，均有．于是令，有上式對一切R均成立，令，即知，而是平面上任一點，故在平面上的導數(shù)為零，從而必為常數(shù)．劉維爾定理，又稱模有界定理，劉維爾定理的幾何意義是:非常數(shù)整函數(shù)的值不能全含于一圓之內(nèi)．它的
5、逆命題為真，即：常數(shù)為有界整函數(shù)．;它的逆否命題也為真，即：非常數(shù)的有界整函數(shù)必無界．1．3劉維爾定理的擴充定理在擴充平面上解析的函數(shù)必為常數(shù)．證在平面上解析，則必為整函數(shù)，而整函數(shù)只以點為孤立奇點，而在點解析，故點只能是的可去奇點，從而必為常數(shù)．推論1實部有界的整函數(shù)必為常數(shù)．證令則為整函數(shù)．由于實部有界，則存在，使得從而有界，由劉維爾定理可見是常數(shù)，因此為常數(shù)．推論2非常數(shù)整函數(shù)的值不能全含于一圓之外．證設(shè)為整函數(shù)且非常數(shù)，若值全含于一圓之外，即存在及，使得對任何，恒有，則有非常數(shù)整函數(shù)(因)．所以在平面上任何點，分母，從而在平面上解析，即為
6、整函數(shù)．又因非常數(shù)，所以非常數(shù)，其值全含于一圓之內(nèi)，與劉維爾定理矛盾．從而非常數(shù)整函數(shù)的值不能全含于一圓之外．1．4代數(shù)學基本定理在平面上，次多項式至少有一個零點．證反證法，設(shè)在平面上無零點．由于在平面上是解析的，在平面上也解析．下面我們證明在平面上有界．由于故存在充分大的正數(shù)，使得當時，．又因在閉圓上連續(xù)，故可設(shè)(正常數(shù))，從而，在平面上于是，在平面上是解析而有界的．由劉維爾定理知，必為常數(shù)，即必為常數(shù)．這與定理的假設(shè)矛盾．故定理得證．2．亞純函數(shù)定義2平面上除極點外無其他類型奇點的單值解析函數(shù)稱為亞純函數(shù)．亞純函數(shù)族是較整函數(shù)族更一般的函數(shù)族
7、，因此整函數(shù)可看成是亞純函數(shù)的一種特例．定理2一函數(shù)為有理函數(shù)的充要條件是在擴充平面上除極點外無其他類型的奇點．證必要性設(shè)有理函數(shù)其中與分別為的次與次多項式，且彼此互質(zhì)，則（1）當時，必為的階級點；（2）當時，必的可去奇點，只要置就是的解析點；（3）的零點必為的極點．充分性若在擴充平面上除極點外無其他類型的奇點，則這些極點的個數(shù)只能是有限個．因為如果不是這樣，這些極點在擴充平面上的聚點就是的非孤立奇點．與假設(shè)矛盾．今令在平面上的極點為其階分別為則函數(shù)至多以為極點，而在平面上解析．故必為一多項式（或常數(shù)）．即必為有理函數(shù)．推論每一個有理函數(shù)必為亞純
8、函數(shù)．2．1超越亞純函數(shù)不是有理函數(shù)的亞純函數(shù)稱為超越亞純函數(shù)．例3是一個超越亞純函數(shù)．證有無窮多個極點：其聚點是一個非孤立奇點．故此函
