亞純函數(shù)與整函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的Julia方向.pdf

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1、第18卷第1期紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)VOl.18NO.12005年3月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIERSITIESMarch2005=================================================================文章編號(hào):1006-8341(2005)01-0036-03亞純函數(shù)與整函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的Julia方向劉孝書(商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系河南商丘476000)摘要:證明了開(kāi)平面上有限正級(jí)超越亞純函數(shù)f()與超越整函數(shù)()的復(fù)合函

2、數(shù)S()=f{()}至少存在一條Julia方向.關(guān)鍵詞:超越亞純函數(shù)G超越整函數(shù)G復(fù)合函數(shù)GJulia方向中圖分類號(hào):0174.52文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A0引言對(duì)于超越亞純函數(shù)除超越整函數(shù)外不一定都具有Julia方向.A.0strOWski[1]曾舉出簡(jiǎn)單的超越亞純函數(shù)f()的例子其增長(zhǎng)性為T(1f)=O((lOg1)2)(1-O)并且f()不具有Julia方向.雖然如此卻有如下結(jié)果:定理A[2]設(shè)f()是開(kāi)平面上的亞純函數(shù)且T(1f)lim2=O1-O(lOg1)則必存在一條由原點(diǎn)出發(fā)的半直線J:arg=60(060

3、<2T)使得在角頂點(diǎn)位于原點(diǎn)以J為平分角線的任意小角域內(nèi)f()取任意復(fù)數(shù)值無(wú)窮多次至多除去兩個(gè)復(fù)數(shù)例外.這條半直線J稱為亞純函數(shù)f()的Julia方向.1主要結(jié)果從復(fù)合函數(shù)這條途徑探討超越亞純函數(shù)Julia方向的存在性得到如下結(jié)果:定理1設(shè)f()為開(kāi)平面<+O上有窮正級(jí)超越亞純函數(shù)()為超越整函數(shù)則復(fù)合函數(shù)S()=f{()}則復(fù)合函數(shù)至少存在一條Julia方向.2引理引理1設(shè)f1()及f2()是開(kāi)平面<+O上級(jí)分別為P1和P2的亞級(jí)函數(shù)且P1P2則f1()-f2()f1()f2()及f2()f1()的級(jí)均不大于

4、P2.證明當(dāng)P10當(dāng)1充分大時(shí)有P+G2P+G2P+G2P+GT(1f1-f2)T(1f1)+T(1f2)<11+12=212<12因此f1()-f2()的級(jí)PP2.根據(jù)文[2]中定理5.10知1f2()與f2()有相同的級(jí).從而由上面證明結(jié)果即知f1()f2()=收稿日期:2004-09-07作者簡(jiǎn)介:劉孝書(1957-)男河南省商丘市人商丘師范學(xué)院副教授主要從事復(fù)變函數(shù)論的教學(xué)與

5、研究.E-mail:liux-iaOshu888@sina.cOm.第1期亞純函數(shù)與整函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的Julia方向37f1()*(1/f2())的級(jí)2.同理f2()/f1()的級(jí)2.引理2[3]設(shè)f()為開(kāi)平面<+O上有限級(jí)的亞純函數(shù)a1a2~aU為其零點(diǎn)J1J2~JU為其極點(diǎn)則有/f()=eXp(@())p1()/p2()其中p1()及p2()分別是以非零的為{aU}及{JU}零點(diǎn)的及典型乘積/是一整數(shù)@()是一次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式.證明不妨設(shè)f(O);O.否則作g()=f()/即可.置f1()=f()p2(

6、)則f1()為整函數(shù)O又由Borel定理[3]即可推出典型乘積p2()的級(jí)不大于f()的級(jí).根據(jù)引理1f1()至多為級(jí)的整函數(shù)O再由整函數(shù)的adamard分解定理有/f1()=eXp(@())p1()其中p1()是以f1()的非零的零點(diǎn)亦即f()的非零的零點(diǎn)構(gòu)成的典型乘積/EN@()是一次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式.引理得證.3定理1的證明根據(jù)Borel定理[3]超越亞純函數(shù)至多有兩個(gè)Borel例外值.故不妨設(shè)有限復(fù)數(shù)C非為g()=f{g()}的Borel例外值.置F()=f()-C則F()與f()有相同的級(jí)(O<<+O

7、).依照引理2先將F()分解為/F()=eXp(@())p1()/p2()=f1()/f2().(1)其中當(dāng)/2O時(shí)f1()=/eXp(@())p1()f2()=p2();當(dāng)/

8、推出f1()及f2()的級(jí)均不大于F()的級(jí)且兩者至少有一個(gè)的級(jí)等于.不妨設(shè)f()的級(jí)為這樣f1()必為超越整函數(shù).再?gòu)?1)式出發(fā)將F{g()}=g()-c分解為F{g()}=g1()/g2()其中g(shù)1()=f1{g()}g2()=f2{g()}且f1()和f2()由(1)式確定.根據(jù)g1()的構(gòu)造知g1()的零點(diǎn)及所屬的階與F{g()}的零點(diǎn)及所屬的階都相同因而它們的零點(diǎn)的收斂指數(shù)