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《【精品】淺談?wù)瘮?shù)與亞純函數(shù)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、淺談?wù)瘮?shù)與亞純函數(shù)摘要：本文主要介紹整函數(shù)，亞純函數(shù)和它們的相關(guān)定理，推論以及超越整函數(shù)，超越亞純函數(shù)，劉維爾定理，代數(shù)學(xué)基本定理等等.關(guān)鍵詞：整函數(shù)；超越整函數(shù)；亞純函數(shù)；超越亞純函數(shù)；劉維爾定理TheDiscussionofIntegralFunctionandMeromorphicFunctionsAbstract：Thispapermainlyintroducesintegralfunctionanditsrelatedtheorem,corollary,transcendentalintegralfunction,merom
2、orphicfunctionsanditsrelatedtheorem,corollary,transcendentalmeromorphicfunctions,andLiuweiertheorem,algebrafundamentaltheorem,etc.Keywords：Integralfunction;Transcendentalintegralfunction;Meromorphicfunction;Transcendentalmeromorphicfunctions;Liuweiertheorem1整函數(shù)的概念定義1在整個(gè)z
3、平面上解析的函數(shù)稱為整函數(shù).例如，多項(xiàng)式，區(qū),Sinz等都是整函數(shù).設(shè)/(z)為一整函數(shù)，則/(z)只乙=g以為孤立奇點(diǎn)月?有00/⑵=^CnZn(0<
4、z
5、<4-oo).?:=0定理1設(shè)/(Z)為一整函數(shù)，則⑴Z=00為/(z)的可去奇點(diǎn)的充要條件為f(z)=常數(shù)C。,⑵z=8為/(z)的m階極點(diǎn)的充要條件為是/(z)是一個(gè)m次多項(xiàng)式c()+qz+???+5z"'(5H0).co⑶Z=00為/⑵的木質(zhì)奇點(diǎn)的充要條件為展式/(Z)=￡c“z"(ow忖V+oo)有無窮多n=0個(gè)c”不等于零.由此可見，整函數(shù)族按唯一奇點(diǎn)Z=00的不同類型而
6、被分為了三類.例1設(shè).f(z)為一整函數(shù)，試證g(z)=[乙廣(0),"0也是一個(gè)整函數(shù).證顯然，g(z)在ZH0的點(diǎn)上解析.在z=()點(diǎn)，由/(Z)為一整函數(shù)知，.f(z)在這一"點(diǎn)解析，又有l(wèi)img⑵=lim/a)~/(0)=廣(0)=g(0),x->axTaz故g(z)在z=0這一點(diǎn)也解析.例2/(z)為一整函數(shù)，且滿足下列條件之一，試證/(乙)必為常數(shù).(1)廣⑵=0;(2)帀在z平面上解析；(3)
7、/(z)
8、為常數(shù);(4)Ref(z),Re.f(z),Imf(z),M,a,n或Im/(z)為常數(shù).證⑴對(duì)=x+有0二廣(z)二叭
9、+譏二片,一巾「，從而vv=uy=0,故/(z)為常數(shù).(2)設(shè)/(z)=w+zv,則f(z)=u-iv解析，易知以=uy=vx=vv=0從而w為常數(shù),故/(z)為常數(shù).(3)若
10、/(訓(xùn)三C=0,則顯然/(z)三0?若
11、/(z)
12、三ChO,則此時(shí)有./Xz)hO,且「2ZW⑵三C2,即于⑵三上一也是解析函數(shù),則利用(2)即得/⑵=0?/⑵(4)設(shè)/⑵二u+沙,若u(兀,y)三C,則以三0,叫三0?由C?--R?條件得vx=-uy=0,vv=ux=0,因此"=C[9v=C2,/(z)=Q+iC?為常數(shù).若Im/(z)為常數(shù)，同理可得/(z
13、)為常數(shù).1.1超越整函數(shù)00設(shè)/⑵為一整函數(shù)，則有/(z)=￡cwzw(0<
14、z
15、<+oo)-若其中有無窮多個(gè)C”不等于71=0零，則/(Z)為超越整函數(shù).例如，“，Sinz，cosZ等都是超越整函數(shù).1.2劉維爾定理有界整函數(shù)/(z)必為常數(shù).證設(shè)
16、/(z)
17、的上界為M,則在柯西不等式屮，對(duì)無論什么樣的只均有?丁?是令/?=1,有If⑷I逬,上式對(duì)一切/?均成立，令/?T+00,即知廣(d)=0,而Q是z平面上任一點(diǎn)，故/(Z)在Z平面上的導(dǎo)數(shù)為零，從而f(z)必為常數(shù).劉維爾定理，又稱模有界定理，劉維爾定理的幾何意義是:非常數(shù)整函
18、數(shù)的值不能全含于一鬪之內(nèi).它的逆命題為真，即：常數(shù)為有界整函數(shù).；它的逆否命題也為真，即：非常數(shù)的有界整函數(shù)必?zé)o界.1.3劉維爾定理的擴(kuò)充定理在擴(kuò)充Z平面上解析的函數(shù)/(Z)必為常數(shù).證/(Z)在Z平面上解析，則/(Z)必為整函數(shù)，而整函數(shù)只以00點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)，而于⑵在00點(diǎn)解析,故00點(diǎn)只能是/(Z)的可去奇點(diǎn)，從而于⑵必為常數(shù).推論1實(shí)部有界的整函數(shù)f(z),z=oo必為常數(shù).證令F(z)="⑵,則F⑵為整函數(shù).由于于(z)實(shí)部有界，則存在M>0,使得F⑵卜嚴(yán)心<詐，從而有界，由劉維爾定理可見F⑵是常數(shù)，因此/⑵為常數(shù).推論2非常數(shù)
19、整函數(shù)的值不能全含于一圓之外.證設(shè)w=f(Z)為整函數(shù)且非常數(shù)，若值全含于一圓之外，即存在?及％〉0,使得對(duì)任何z，恒有
20、f⑵-5
21、>久，則有非常數(shù)整兩數(shù)g(z)=—'—(因/⑵-?
22、/(Z)-?
23、〉￡o)
