斐波那契數(shù)列.docx

《斐波那契數(shù)列.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、斐波那契數(shù)列一、簡(jiǎn)介斐波那契數(shù)列（Fibonacci），又稱黃金分割數(shù)列，由數(shù)學(xué)家斐波那契最早以“兔子繁殖問(wèn)題”引入，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。故斐波那契數(shù)列又稱“兔子數(shù)列”。斐波那契數(shù)列指這樣的數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,……，前兩個(gè)數(shù)的和等于后面一個(gè)數(shù)字。這樣我們可以得到一個(gè)遞推式，記斐波那契數(shù)列的第i項(xiàng)為Fi，則Fi=Fi-1+Fi-2.兔子繁殖問(wèn)題指設(shè)有一對(duì)新生的兔子，從第三個(gè)月開(kāi)始他們每個(gè)月都生一對(duì)兔子，新生的兔子從第三個(gè)月開(kāi)始又每個(gè)月生一對(duì)兔子。按此規(guī)律，并假定兔子沒(méi)有死亡，10個(gè)月

2、后共有多少個(gè)兔子？這道題目通過(guò)找規(guī)律發(fā)現(xiàn)答案就是斐波那契數(shù)列，第n個(gè)月兔子的數(shù)量是斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)。二、性質(zhì)如果要了解斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，必然要先知道它的通項(xiàng)公式才能更簡(jiǎn)單的推導(dǎo)出一些定理。那么下面我們就通過(guò)初等代數(shù)的待定系數(shù)法計(jì)算出通項(xiàng)公式。令常數(shù)p,q滿足Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2)。則可得：Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2)=q2(Fn-2-pFn-3)=…=qn-2(F2-pF1)又∵Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2)∴Fn-pFn-1=qFn-

3、1-pqFn-2Fn-1+Fn-2-pFn-1-qFn-1+pqFn-2=0(1-p-q)Fn-1+(1+pq)Fn-2=0∴p+q=1,pq=-1是其中的一種方程組∴Fn-pFn-1=qn-2(F2-pF1)=qn-2(1-p)=qn-1Fn=qn-1+pFn-1=qn-1+p(qn-2+p(qn-3+…))=qn-1+pqn-2+p2qn-3+…+pn-1不難看出，上式是一個(gè)以p/q為公比的等比數(shù)列。將它用求和公式求和可以得到：Fn=qn-1pqn-1pq-1=pn-qnp-q而上面出現(xiàn)了方

4、程組p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，這樣就得到了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。隨意取出一組解即可：p=5+12,q=1-52Fn=pn-qnp-q=151+52n-1-52n這就是著名的斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式。有了它，斐波那契數(shù)列的一些性質(zhì)也不難得出了。比如斐波那契數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的比值趨向于黃金分割比，即：limn→∞FnFn-1=1+52≈1.6180339887…根據(jù)斐波那

5、契數(shù)列通項(xiàng)公式，可以得到FnFn-1=1+52n-1-52n1+52n-1-1-52n-1因?yàn)閚是趨向于正無(wú)限的，因此我們可以知道：0<1-52<1,limn→∞1-52n=0那么我們就可以把分子和分母的第二項(xiàng)同時(shí)省略掉，即FnFn-1=1+52n1+52n-1=1+52這就是斐波那契數(shù)列的魅力之一——它和黃金分割比有密切的關(guān)系。下面將給出斐波那契數(shù)列的幾個(gè)性質(zhì)及其證明。1)F1+F2+F3+...+Fn=Fn+2-1證明：原式=(F3-F2)+(F4-F3)+...+(Fn+2-Fn+1)=F

6、n+2-1.2)F1+F3+F5+...+F2n+1=F2n+2證明：原式=F2+(F4-F2)+(F6-F4)+...+(F2n+2-F2n)=F2n+23)F12+F22+...+Fn2=FnFn+1證明：利用數(shù)學(xué)歸納法，顯然n=1時(shí)滿足，下面證明若n=k時(shí)滿足，n=k+1時(shí)也滿足.已知F12+F22+...+Fn2=FnFn+1,F12+F22+...+Fn+12=FnFn+1+Fn+12=(Fn+1+Fn)Fn+1=Fn+1Fn+2，因此n+1后仍然滿足.上述公式成立.4)F1F2+F2

7、F3+...+FnFn+1=(Fn+22-FnFn+1-1)/2證明：數(shù)學(xué)歸納法，n=1時(shí)滿足.已知F1F2+F2F3+...+FnFn+1滿足，那么F1F2+F2F3+...+FnFn+1+Fn+1Fn+2=(Fn+22-FnFn+1-1)/2+Fn+1Fn+2=(Fn+22-FnFn+1+2Fn+1Fn+2-1)/2=[(Fn+22+2Fn+1Fn+2+Fn+12)-FnFn+1-Fn+12-1]/2=(Fn+32-Fn+1Fn+2-1)/2，因此上式成立.5)Fn2=Fn-1Fn+1+(-

8、1)n+1證明：數(shù)學(xué)歸納法，n=2時(shí)滿足.已知前面的n都滿足，那么Fn2=Fn-12+Fn-22+2Fn-2Fn-1=Fn-12+Fn-3Fn-1+(-1)n-1+2Fn-2Fn-1=Fn-1Fn+Fn-12+(-1)n-1=Fn-1Fn+1+(-1)n+1，因此上式成立.6)Fn+m=Fm-1Fn+FmFn+1(n>m>1)證明：利用通項(xiàng)公式，設(shè)α=1+52,β=1-α=1-52Fm-1Fn+FmFn+1=15αm-1-βm-1αn-βn+αm-βmαn+1-βn+1=15αn+m+1+β