數(shù)列與不等式專題

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1、數(shù)列與不等式專題一．高考說明剖析江蘇省2005年高考數(shù)學(xué)考試大綱，對于《不等式》一章的考試內(nèi)容及考試要求為：(1）理解不等式的性質(zhì)及其證明。(2)掌握兩個(不擴(kuò)展到三個)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用。(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。(4)掌握簡單不等式的解法。(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。對于《數(shù)列》一章的考試內(nèi)容及考試要求為：(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項

2、公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題。(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題。這同江蘇省2004年高考數(shù)學(xué)考試大綱對這兩部分內(nèi)容的要求完全一樣。據(jù)此我們判斷：穩(wěn)定是江蘇省高考自主命題的指導(dǎo)思想之一。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)高考，重點考查的內(nèi)容有五大塊：函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、直線和平面、圓錐曲線。而新高考，重點考查的內(nèi)容則有八大塊：函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、概率、平面向量、圓錐曲線、直線與平面。這是總的格局，再細(xì)化一下，看2004年高考關(guān)于不等式、數(shù)列的試題配置：江蘇省2004年高考數(shù)學(xué)試卷中不等式與數(shù)列所占的權(quán)

3、重都分別考了一個填空題和一個解答題(數(shù)列為第20題，不等式為第22題)。其它省份的數(shù)學(xué)試卷以及全國數(shù)學(xué)試卷也都在不同程度上體現(xiàn)了數(shù)列與不等式的重點地位。由此可以看出，不等式和數(shù)列是傳統(tǒng)高考考查的重點內(nèi)容，也是新高考考查的重點內(nèi)容。還應(yīng)指出的是：數(shù)列、不等式也是《新課標(biāo)》必修模塊5的內(nèi)容。因此，我們有理由相信：不等式、數(shù)列內(nèi)容仍將是今年高考考查的重點。二．高考試題研究例1．(2004年江蘇高考20題)設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn。⑴若首項a1＝，公差d＝1，求滿足＝(Sk)2的正整數(shù)k；⑵求所有的無窮等差數(shù)列{an}，使得對于一切正整數(shù)k都有＝(Sk)

4、2成立。學(xué)生正確理解了有關(guān)符號，不難得出本題的正確結(jié)果。其中，第二句話具有高等數(shù)學(xué)的語言味道。例2．(2004年江蘇高考22題)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足下列條件：對于任意的實數(shù)x1、x2，都有λ(x1－x2)2≤(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]和｜f(x1)－f(x2)｜≤｜x1－x2｜，其中λ是大于0的常數(shù)。設(shè)實數(shù)a0、a、b滿足f(a0)＝0和b＝a－λf(a)。(Ⅰ)證明：λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)＝0；(Ⅱ)證明：(b－a0)2≤(1－λ2)(a－a0)2；(Ⅲ)證明：[f(b)]2≤(1－λ2)[f(a)]2。6本題具

5、有高等數(shù)學(xué)背景，字母多，函數(shù)抽象，學(xué)生無從下手，得分度極低，區(qū)分度極差。從某種意義上講，經(jīng)過直覺判斷后95％學(xué)生可放棄解答本題。例3．(2004年全國高考數(shù)學(xué)試卷二19題)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，an+1＝Sn(n＝1，2，3，…)。證明：⑴數(shù)列{}是等比數(shù)列；⑵Sn+1＝4an。解答本題，有兩個方面的素養(yǎng)必須具備，一是正確理解符號{}的意義，二是把握項與和的關(guān)系（消項留和）。例4．(2004年北京高考18題)f(x)是定義在[0，1]上的增函數(shù)，f(x)=2f()且f(1)＝1，在每個區(qū)間(，］(i=1，2，3，…)上，y=f(x)的圖象

6、都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分。⑴求f(0)及f()、f()的值，并歸納出f()(i=1，2，3，…)的表達(dá)式；⑵略解答本題必須具有識別數(shù)列模式的能力。例5．(2004年北京高考20題)給定有限個正數(shù)滿足條件T：每個數(shù)都不大于50且總和L＝1275?，F(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是：首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差r1與所有可能的其它選擇相比是最小的，r1稱為第一組的余差；然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這里的余差為r2；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組(余差為

7、r3)、第四組(余差為r4)、…，直至第N組(余差為rN)把這些數(shù)全部分完為止。⑴判斷r1，r2，…，rN的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個數(shù)；⑵當(dāng)構(gòu)成第n(n＜N)組后，指出余下每個數(shù)與的rn的大小關(guān)系，并證明rn-1＞；⑶對任何滿足條件T的有限個正數(shù)，證明：N≤11（本題是理科試題最后一題）。閱讀本題要有足夠的耐心；解答本題要會捕捉有用信息；完整解答本題，需要對不等式變換特別是放縮法有較高的技能；第1小題多數(shù)學(xué)生可以做出來，不難邏輯分析出來，也能夠直覺猜想出來。三．高考命題展望回顧2004年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷，并縱觀別的省份的高考數(shù)學(xué)試卷，都有

8、一個共同的特點，就是一改近幾年高考數(shù)學(xué)