數(shù)列專題數(shù)列與不等式(本人).doc

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1、數(shù)列專題——數(shù)列與不等式數(shù)列與不等式數(shù)列與不等式的綜合問題是近年來的高考熱門問題，與不等式相關(guān)的大多是數(shù)列的前n項和問題，對于這種問題，在解答時需要利用化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為我們較熟悉的問題來解決，要掌握常見的解決不等式的方法，以便更好地解決問題．主要考查考生的推理論證能力和分析、解決問題的能力、以及轉(zhuǎn)化化歸的思想和數(shù)學素養(yǎng)．【示例1】?(2011·浙江)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項a1為a(a∈R)，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)對n∈N*，試比較＋＋＋…＋與的大?。狻?1)

2、設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可知2＝·，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，從而a1d＝d2.因為d≠0，所以d＝a1＝a.故通項公式an＝na.(2)記Tn＝＋＋…＋，因為a2n＝2na，所以Tn＝＝·＝，從而，當a＞0時，Tn＜；當a＜0時，Tn＞.本題主要考查等差、等比數(shù)列的概念以及通項公式、等比數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力及推理論證能力．【訓練】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，對于任意的n∈N*滿足關(guān)系式2Sn＝3an－3.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)

3、列{bn}的通項公式是bn＝，前n項和為Tn，求證：對于任意的正數(shù)n，總有Tn＜1.(1)解　由已知得(n≥2)．故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1(n≥2)．故數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比q＝3.又當n＝1時，2a1＝3a1－3，∴a1＝3，∴an＝3n.(2)證明　∵bn＝＝－.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＜1.數(shù)列綜合以等差數(shù)列、等比數(shù)列為載體，考查函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化和分類討論等數(shù)學思想方法，是新課標高考數(shù)列題的一個重要特點，因試題較為綜合，故難度一般較

4、大．【示例2】?(2011·天津)已知數(shù)列{an}與{bn}滿足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝，n∈N*，且a1＝2.(1)求a2，a3的值；(2)設(shè)cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，證明{cn}是等比數(shù)列；(3)設(shè)Sn為{an}的前n項和，證明＋＋…＋＋≤n－(n∈N*)．(1)解　由bn＝，n∈N*，可得bn＝又bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，當n＝1時，a1＋2a2＝－1，由a1＝2，可得a2＝－；當n＝2時，2a2＋a3＝5，可得a3＝8.(2)證明　對任意n∈N*，a

5、2n－1＋2a2n＝－22n－1＋1，①2a2n＋a2n＋1＝22n＋1.②②－①，得a2n＋1－a2n－1＝3×22n－1，即cn＝3×22n－1，于是＝4.所以{cn}是等比數(shù)列．(3)證明　a1＝2，由(2)知，當k∈N*且k≥2時，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k－3)＝2＋3×＝22k－1，故對任意k∈N*，a2k－1＝22k－1.由①得22k－1＋2a2k＝－22k－1＋1，所以a2k＝－22k－1，k∈

6、N*，因此，S2k＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝.于是，S2k－1＝S2k－a2k＝＋22k－1.故＋＝＋＝－＝1－－.所以，對任意n∈N*.＋＋…＋＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝n－－－…－≤n－＝n－.本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法，難度較大．在數(shù)列中，，，．（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）證明不等式，對任意皆成立．（Ⅰ）證明：由題設(shè)，得，．又，所以數(shù)列是首項為，且公比

7、為的等比數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是數(shù)列的通項公式為．所以數(shù)列的前項和．（Ⅲ）證明：對任意的，．所以不等式，對任意皆成立．2.設(shè)數(shù)列的前項和為，。（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并分別求出、的表達式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：；（3）是否存在自然數(shù)n,使得？若存在，求出n的值；若不存在,請說明理由。又易知單調(diào)遞增，故，得(3)由得=……13分由，得n=1005,即存在滿足條件的自然數(shù)n=1005.