專題四 (數(shù)列與不等式).doc

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1、2016屆高三數(shù)學(xué)小專題復(fù)習(xí)專題四數(shù)列與不等式考情分析：1、關(guān)注以下幾個(gè)遞推關(guān)系：（1）已知，且（為常數(shù)）；（2）已知，且（為常數(shù)，為一次函數(shù)、二次函數(shù)或指數(shù)函數(shù)）；（3）已知，且；（4）已知，且（為常數(shù)）；（5）已知，且（為常數(shù)）。2、在解決數(shù)列與不等式問題時(shí)，常會(huì)用到以下放縮模型：（1）利用不等式的性質(zhì)“”“”進(jìn)行放縮。具體又表現(xiàn)在下列幾種情況：（）；（）；（）；（）；（）；。（2）利用不等式性質(zhì)“”“”進(jìn)行放縮。例如：；。通過這個(gè)不等式的性質(zhì)把非等比數(shù)列求和放縮為等比數(shù)列求和。（3）利用一個(gè)不等式的恒成立問題“若且時(shí)，不等式對(duì)且恒成

2、立，求實(shí)數(shù)范圍”進(jìn)行放縮不等式對(duì)且恒成立，即是對(duì)且恒成立，令，易知隨n增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，得的最大值，∴。從而可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題求解。上面這個(gè)不等式恒成立模型可拓展成：“若且時(shí)，不等式對(duì)且恒成立，求實(shí)數(shù)范圍”，用同樣的方法可操作求解。3、類等差數(shù)列的概念與性質(zhì)、類等比數(shù)列的概念與性質(zhì)若從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都小于（或大于）同一個(gè)常數(shù)，則叫做類等差數(shù)列，叫類等差數(shù)列的公差.設(shè)，則類等差數(shù)列具有性質(zhì)：若，則，；若，則，.若從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都小于（或大于）同一個(gè)非零常數(shù)，則叫做類等比數(shù)列，叫類等比數(shù)列的公比.類等

3、比數(shù)列具有以下性質(zhì)：若且,則當(dāng)時(shí)，，.以上類等差數(shù)列、類等比數(shù)列的性質(zhì)常用于一些數(shù)列不等式的證明，而此類不等式多以壓軸題的形式出現(xiàn)，是高考中的難點(diǎn)，既考查基礎(chǔ)知識(shí)又考查能力，對(duì)考生有很好的甄別與選拔功能.考題再現(xiàn)1、（2015年浙江高考數(shù)學(xué)理）已知數(shù)列滿足且，。（1）證明：（）；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：（）。2、（2015重慶高考數(shù)學(xué)理）在數(shù)列中，（）。（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若（），，證明：。3、（2016年浙江省考試院測(cè)試卷）已知數(shù)列滿足，．(Ⅰ)證明：數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；(Ⅱ)記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．典例講解例1

4、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足：。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：①；②。例2設(shè)數(shù)列滿足，（）。（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)（），若，求證：（）。規(guī)范練習(xí)1、設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)之積，滿足N*．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：．2、已知已知數(shù)列滿足，。求證：。魯迅中學(xué)虞關(guān)壽參考答案：專題四例1（1）由退一位得（），兩式相減可得：，即，又，∴數(shù)列為等比數(shù)列，∴；（2），。①方法一：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，；方法二：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，設(shè)函數(shù)（），易知函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，把代入得的最大值為，∴可取。∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)

5、時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，設(shè)函數(shù)（），易知函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，把代入得的最大值為，∴可取?！喈?dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，。例2（1）∵，∴，∵，∴可得或。若可得無(wú)實(shí)數(shù)解，由可得成立，∴；（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴即，∴，即；又由移項(xiàng)可得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，由此可得：，∴，即。綜上所述，（）。規(guī)范練習(xí)1、（1）易知，，且由，得，即，即．所以，故．（2）由（1）得．一方面，；另一方面，．又．所以2、∵，∴，∵，∴上式又可化為，∴，即，∴可得：，從而可知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的類等比數(shù)列，進(jìn)而又得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的類等比數(shù)列，∴，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，∴

6、，即。魯迅中學(xué)虞關(guān)壽