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《泛函分析總復(fù)習(xí)new》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、泛函分析總復(fù)習(xí)（按與課本先后順序排列）1、設(shè)是中的有界閉集，映射滿足。求證在中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證明：因?yàn)?，所以。再由三角不等式，得到。由此可見，在上連續(xù)。因?yàn)槭侵械挠薪玳]集，所以，使得。如果，那么就是不動(dòng)點(diǎn)。今假設(shè)。根據(jù)假設(shè)，我們有。但是，這與是最小值矛盾。故，即存在不動(dòng)點(diǎn)。不動(dòng)點(diǎn)的唯一性是顯然的。事實(shí)上，如果存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，，則從即得矛盾。2、對(duì)于積分方程，其中為一給定函數(shù)，為常數(shù)，，求證存在唯一解。證明：考慮由則原方程等價(jià)于。令，則11，即是壓縮映射，壓縮常數(shù)為，因而有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即積分方程在有唯一解，從而原方程在上有唯一解。
2、3、設(shè)M是C[a,b]中的有界集，求證集合是列緊集.證：設(shè)，，，即E一致有界.又，,即E等度連續(xù).由定理13結(jié)論得證.4、求證在中不是列緊的.證：只要證非等度連續(xù).對(duì)，使得，.由此可見，非等度連續(xù).5、設(shè)是距離空間，M是中的列緊集，若映射滿足，求證上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證：記.先證存在，使得（1）這從下確界的定義出發(fā).,使得.又因?yàn)镸列緊，故存在.將上面不等式中的改為，即11，并令，（1）式得證。再證d=0.用反證法.如果，則有，矛盾。6、設(shè)是一個(gè)緊距離空間，又，E中函數(shù)一致有界并滿足：,其中.求證E在中是列緊集。證：，取，當(dāng)時(shí)，，所以
3、E是等度連續(xù)的，因此E是列緊集。注：.7、在中，對(duì)每個(gè)，令，。求證是中兩個(gè)等價(jià)范數(shù)。證明：顯然?？紤]8、設(shè)表示上連續(xù)且有界的函數(shù)全體，對(duì)于每個(gè)，定義（1）求證上的范數(shù)；（2）若，求證上的范數(shù)是不等價(jià)的。11證明：不妨假設(shè)，顯然有，由此可見，為了證明不等價(jià)性，只要證不存在只需證，使得，因?yàn)椋海?，，，?、設(shè)(X,
4、
5、·
6、
7、)是一線性賦范空間，M是X的有限維子空間，{e1,e2,...,en}是M的一組基，給定g?X，引進(jìn)函數(shù)．規(guī)定F(c)=F(c1,c2,...,cn)=(1)求證F是一個(gè)凸函數(shù)；(2)若F的最小值點(diǎn)是c=(c1,c2,
8、...,cn)，求證給出g在M中的最佳逼近元．證明：(1)根據(jù)凸函數(shù)的定義，考慮=
9、=11故F是一個(gè)凸函數(shù)．(2)對(duì)一一對(duì)應(yīng)有，使，。10、設(shè)是空間，是的線性子空間，假定，使得，。求證：在中稠密。證明：考慮，。用反證法證明。若，由Riesz引理，對(duì)，使得，并且。于是取，便有，矛盾。11、1112、1113、14、1115、設(shè)是Banach空間，是滿射，求證：如果在中，則與，使且證：設(shè)考慮映射（1）證是單射，事實(shí)上，（）11故是單射。（1）事實(shí)上，由條件A滿射推出，對(duì)，使得，從而。故滿射。（2）證有界，事實(shí)上，以為對(duì)，我們有，由此推出有
10、界。（3）由Banach逆算子定理，。（4）證時(shí)的理論。事實(shí)上，如果，記則有注意到這個(gè)結(jié)論與要證的一般結(jié)果十分相似，其中相當(dāng)于C，下面要做的事就是“過(guò)河拆橋”，將中的[]去掉。事實(shí)上，根據(jù)第一章4例13的（2），可取，使得。進(jìn)一步，從既知.令，C=2，則有，C=2，即已經(jīng)證明了情形下的結(jié)論。（5）證時(shí)的結(jié)論，事實(shí)上，設(shè)，記，，則有11取滿足；同時(shí)取，滿足這樣，并有，進(jìn)一步，對(duì)，應(yīng)用（5）一步結(jié)果既知其中C=2由此可知最后，再想辦法將折合到上去，事實(shí)上，因?yàn)?，所以，使得?duì)，有由此推出聯(lián)合不等式（1），（2）既知16、1111
