求函數(shù)值域的基本方法

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1、求函數(shù)值域的基本方法作者姓名：梁灝工作單位：重慶市科能高級技工學校通訊地址：重慶市沙坪壩區(qū)上橋，重慶市科能高級技工學校郵政編碼：400037電子郵箱：LH5136@163.com聯(lián)系電話：1361833560918983375136摘要：本文通過例題歸納出了求函數(shù)值域的幾種方法，對有些題目還進行了一題多解，對教師教學水平和學生解題能力的提高有一定幫助。關鍵詞：函數(shù)、值域、方法通常把函數(shù)的定義域、值域和對應關系叫做函數(shù)的三要素?，F(xiàn)在的數(shù)學教材對求函數(shù)的定義域的方法介紹比較多，而對如何求函數(shù)的值域涉及較少。本文

2、擬就先通過介紹函數(shù)定義域、值域的概念以及常見基本函數(shù)的值域，然后通過例題歸納出求函數(shù)值域的幾種方法。一、函數(shù)定義域和值域的概念在函數(shù)中，，則自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；對應的函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。二、幾種常見基本函數(shù)的值域一般說來，函數(shù)的值域受其定義域的制約，幾種常見的基本函數(shù)的值域如下：1、的值域是。2、的值域是：當時，值域為；當時，值域為。3、的值域是。4、的值域是。5、的值域是。6、的值域是；的值域是。三、求函數(shù)值域的基本方法1、觀察法有些函數(shù)的結構并不復雜，可以根據(jù)其解析式的特征通過基本

3、函數(shù)的值域及不等式的性質直接觀察出函數(shù)的值域。例1．求函數(shù)的值域。7解：。2、配方法配方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，形如的函數(shù)的值域問題，均可以使用配方法，借助二次函數(shù)的性質求得值域。在解題過程中，要特別注意自變量的取值范圍。例2．求函數(shù)的值域。解：由得函數(shù)的定義域為。3、分離常數(shù)法分離常數(shù)法適合于求分式函數(shù)的值域問題，思路是用分母表示分子，分離出常數(shù)，使分子不含變量，再借助基本函數(shù)的值域求解。例3．求函數(shù)的值域。解：。例4．求函數(shù)的值域。解：。4、判別式法此方法是把函數(shù)轉化為關于的二次方程，通過方

4、程有實根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域。形如7的函數(shù)的值域常用此法求得。運用該法求值域的前提是“二次項系數(shù)不為0”且分子、分母沒有公因式以及函數(shù)定義域為。例5．求函數(shù)的值域（即用判別式法解例4）。解：由得由于，。5、反函數(shù)法（反解法）將看做自變量，利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域互逆的關系或基本函數(shù)的值域，可求得原函數(shù)的值域。例6．求函數(shù)的值域。解：由可得。例7．求函數(shù)的值域。解：由可得。例8．求函數(shù)的值域。7解：由可得。6、換元法換元法就是運用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求

5、得原函數(shù)的值域。對于含有結構的函數(shù)可用代數(shù)代換，令且，使之變形為二次函數(shù)，再利用配方法；對于含有結構的函數(shù)，可用三角代換，令，或令。例9．求函數(shù)的值域。解：令則且，。例10．求函數(shù)的值域。解：令，則。7、不等式法利用基本不等式。7用不等式法求值域時，要注意條件“一正、二定、三相等”，即：（1）；（2）；（3）取等號的條件。例11．求函數(shù)的值域。解：當且僅當，即時取等號.。例12．求函數(shù)的值域。解：當時，當時，綜上，。注：例11、例12也可用判別式法求解。8、單調(diào)性法通過確定函數(shù)在定義域（或定義域的某個子集上

6、）的單調(diào)性來求出函數(shù)值域的方法稱為單調(diào)性法。對于函數(shù)，若同號則用單調(diào)性法求值域，若異號則利用換元法求值域。另外，還有在利用基本不等式求值域失效（即等號不滿足）的情況下，也可采用單調(diào)性法求值域，但必須要熟悉下述結論：函數(shù)。例13．求函數(shù)的值域（即用單調(diào)性法解例9）。7解：均為增函數(shù).在其定義域上單調(diào)增加，.。例14．求函數(shù)的值域。解：此題不能使用不等式法（等號不能成立）.但是在時為增函數(shù).。9、數(shù)形結合法當一個函數(shù)的圖像可以作出或利用函數(shù)所表示的幾何意義，就可借助數(shù)形結合法求出函數(shù)的值域。比如由平方和聯(lián)想到距

7、離，由分式形式聯(lián)想到斜率等。例15．求函數(shù)的值域。解：表示數(shù)軸上的點到表示實數(shù)的點與到表示實數(shù)6的點的距離之和..。例16．求函數(shù)的值域。解：∴表示直角坐標平面內(nèi)軸上的點到兩定點的距離之和，如圖1所示.由圖1可得出。7例17．求函數(shù)的值域。解：∴可以看作是單位圓外一點與單位圓上的點所連線段的斜率的2倍，如圖2所示.由圖2可得出設過點的直線方程為∵由圓心到切線的距離為1，∴令解得即∴∴。通過以上各例，我們歸納出了求函數(shù)值域的幾種基本方法，也知道有些函數(shù)的值域可以用多種方法求解。希望本文對教師教學水平和學生解題

8、能力的提高有一定幫助。參考資料：1、全日制普通高級中學教科書（必修）《數(shù)學》，人民教育出版社，2003年6月2、中等職業(yè)教育通用教材《數(shù)學》，西南交通大學出版社，2006年7月3、高中總復習全優(yōu)設計《數(shù)學（理科）：基礎過關版》，知識出版社，2006年5月7