圓系方程和其應(yīng)用

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1、圓系方程及其應(yīng)用一、常見的圓系方程有如下幾種：1、以為圓心的同心圓系方程：　與圓＋＋＋Ｆ＝０同心的圓系方程為：＋＋＋＝０2、過直線＋＋Ｃ＝０與圓＋＋＋Ｆ＝０交點(diǎn)的圓系方程為：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）3、過兩圓:＋＝0，:＋＝０交點(diǎn)的圓系方程為：＋＋（＋）＝0（≠-１，此圓系不含:＋＝０）特別地，當(dāng)＝－１時，上述方程為根軸方程．兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程．注：為了避免利用上述圓系方程時討論圓，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:二、圓系方程在解題中的應(yīng)用：1、利用圓系方程求圓的方程：例1求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y

2、2+6y-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。解一：求出兩交點(diǎn)（-1,3）（-6,-2），再用待定系數(shù)法：1．用一般式；　2．用標(biāo)準(zhǔn)式。（注：標(biāo)準(zhǔn)式中可先求圓心的兩個坐標(biāo)，而圓心正好在兩交點(diǎn)的中垂線上。）解二：用兩點(diǎn)的中垂線與直線的交點(diǎn)得圓心：1．兩交點(diǎn)的中垂線與直線相交；2．過圓心與公共弦垂直的直線與直線相交；3．兩圓心連線與直線相交。解三：利用圓系方程求出圓心坐標(biāo)，圓心在直線方程上，代入直線方程求解。例１、求經(jīng)過兩圓＋3－－2＝０和＋2＋＋１＝０交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程．解：方法3：由題可設(shè)所求圓的方程為：　?。ǎ?－－2）＋（＋2＋＋１）＝０∵?。?

3、，0）在所求的圓上，∴　有－2＋＝０．　從而＝２故所求的圓的方程為：即?。?＋＝０。2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2（1）：求過兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程?！　》治觯罕绢}若先聯(lián)立方程求交點(diǎn)，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運(yùn)算量較大。自然選用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點(diǎn)且面積最小的圓的問題。解：圓和的公共弦方程為過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為，即依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系

4、方程得所求圓方程例２（2）;求經(jīng)過直線：2＋＋4＝０與圓Ｃ：＋2－4＋1＝０的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程．解：設(shè)圓的方程為：＋2－4＋1＋（2＋＋4）＝０即＋＋（1＋4）＝０則，當(dāng)＝時，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：＋26－12＋37＝０練習(xí)：1．求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+7=0的兩個交點(diǎn)且過原點(diǎn)的圓的方程。（常數(shù)項(xiàng)為零）2．求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點(diǎn)且圓心在x軸上的圓的方程。（圓心的縱坐標(biāo)為零）3．求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點(diǎn)且面積最小的圓方程。（半徑最

5、小或圓心在直線上）4．求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點(diǎn)且與x軸相切的圓的方程；并求出切點(diǎn)坐標(biāo)。（圓心到x軸的距離等于半徑）3、利用圓系方程求參數(shù)的值：例3：已知圓與直線相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)m的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于m的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出O在以PQ為直徑的圓上。而P，Q剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡化運(yùn)算過程。解：過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為：，即　　………………….①依題意，O在以PQ

6、為直徑的圓上，則圓心顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程①，則，故。4、利用圓系方程判斷直線與圓的位置關(guān)系：例4圓系＋2＋（4＋10）＋10＋20＝０（Ｒ，≠-１）中，任意兩個圓的位置關(guān)系如何？解：圓系方程可化為：＋10＋20＋（2＋4＋10）＝０∵　與無關(guān)　　∴　　即易知圓心（０，-５）到直線＋2＋5＝０的距離恰等于圓＝５的半徑．故直線＋2＋5＝０與圓＝５相切，即上述方程組有且只有一個解，從而圓系方程所表示的任意兩個圓有且只有一個公共點(diǎn)，故它們的關(guān)系是外切或內(nèi)切．總結(jié)：在求解過直線與圓，圓與圓交點(diǎn)的圓有關(guān)問題時，若能巧妙使用圓系方程，往往能優(yōu)化解題過程，減少運(yùn)算量，收到事半功

7、倍的效果。