圓系方程的應用.pdf

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1、４２上海中學數(shù)學·２０１０年第１０期圓系方程的應用２０１４１１上海市奉城高級中學徐勁在高二年級的數(shù)學拓展課上，當講到圓這分析：這是一道入門級的例題，教材中講一節(jié)內(nèi)容時，筆者曾經(jīng)非常猶豫要不要將圓系授的一般方法是先求出圓與直線的交點，然方程介紹給同學們．由于現(xiàn)行高中教材中，除了后找出新圓的圓心與半徑．而利用圓系方程直線系方程有少量介紹外，并未涉及圓系方程思想則立足對λ的研究，稍微提高了思維基的相關內(nèi)容，而圓系方程的思想對同學們的思點，卻大大降低了計算的復雜度，學生更有興維能力而言確實具有相當?shù)奶魬?zhàn)性．筆者經(jīng)

2、過趣和信心．例３已知直線ｌ：ｘ＋２ｙ－３＝０交圓Ｃ：ｘ２比較深入系統(tǒng)的研究后，挑選出圓系方程中與２課本及考綱結(jié)合比較緊密，高于教材卻又優(yōu)于＋ｙ＋ｘ－６ｙ＋ｍ＝０于點Ｐ、Ｑ，Ｏ為原點，試問教材的一部分內(nèi)容給同學們作了介紹，取得了當ｍ為何值時ＯＰ⊥ＯＱ？非常理想的教學效果．解：由ＯＰ⊥ＯＱ可設以ＰＱ為直徑且過原點的Ｏ的新圓方程為ｘ２２圓系方程思想是曲線系思想的一個重要組＋ｙ＋ｘ－６ｙ＋ｍ＋λ（ｘ２２成部分，基本原理是這樣的：令Ｆ（ｘ，ｙ）＝０是圓＋２ｙ－３）＝０（λ∈Ｒ）．整理得ｘ＋ｙ＋（１＋λ）ｘＡ的方程，

3、Ｇ（ｘ，ｙ）＝０是圓Ｂ（或直線ｌ）的方－（６－２λ）ｙ＋ｍ－３λ＝０．程，那么Ｆ（ｘ，ｙ）＋λ（Ｇ（ｘ，ｙ）＝０就是過圓Ａ與此圓圓心坐標為（－１＋λ，３－λ），由圓心在２圓Ｂ（或直線ｌ）的交點（或切點）的任意圓（不含直徑ＰＱ所在的直線ｌ上，且由新圓過原點可知圓Ｂ）的方程．１＋λ應用１：兩圓公共弦或公切線方程烄－＋２（３－λ）－３＝０常數(shù)項為０，故得２，即例１求圓ｘ２２２烅＋ｙ－２ｘ－４ｙ－４＝０與圓ｘ２烆ｍ－３λ＝０＋ｙ＋３ｘ－２ｙ－２＝０的兩圓公共弦所在的直線ｍ＝３，λ＝１，故當ｍ＝３時ＯＰ⊥ＯＱ．方程

4、．分析：僅從表面上看，本題結(jié)論貌似與圓系解：由題意，得ｘ２２２＋ｙ－２ｘ－４ｙ－４＋λ（ｘ方程無關，普通解題方法利用向量垂直的性質(zhì)２＋ｙ＋３ｘ－２ｙ－２）＝０（λ∈Ｒ）．當λ＝－１時，即可以解出，但方法稍嫌笨拙．然而就ＯＰ⊥ＯＱ這得５ｘ＋２ｙ＋２＝０就是兩圓公共弦所在的直線個題設而言，可以理解為存在一個以ＰＱ為直方程．徑且過原點的Ｏ的新圓，而Ｐ、Ｑ兩點正是直線分析：從圓系方程的觀點來看，對于過兩圓ｌ與圓Ｃ的交點．問題就此解決．交點的任意曲線方程Ｆ（ｘ，ｙ）＋λＧ（ｘ，ｙ）＝０而２２例３變式：已知圓Ｃ：ｘ＋

5、ｙ－２ｘ＋４ｙ－４＝言，當λ＝－１時，方程即是過兩圓交點的直線０，問是否存在斜率為１的直線ｌ，使ｌ被圓Ｃ截方程．兩圓相切時，兩圓過切點的公切線方程同得的弦ＡＢ為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，寫出樣可以用這個方法求出．直線ｌ的方程，若不存在，試說明理由．應用２：圓與直線相交（切）解：由題意可設直線ｌ的方程為ｙ＝ｘ＋ｍ２２例２一圓過圓ｘ＋ｙ－２ｘ＝０與直線ｘ（ｍ∈Ｒ），則新圓方程為ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋４ｙ－４＋λ＋２ｙ－３＝０的交點，且圓心在ｙ軸上，求這個圓（ｘ－ｙ＋ｍ）＝０（λ∈Ｒ．整理得ｘ２＋ｙ２＋（λ－２）ｘ

6、的方程．＋（４－λ）ｙ－４＋λｍ＝０．解：令所求圓的方程為ｘ２２＋ｙ－２ｘ＋λ（ｘ＋λ－２４－λ得新圓圓心為（－，－），該圓心在２２２ｙ－３）＝０（λ∈Ｒ）．整理得ｘ＋ｙ＋（λ－２）ｘ＋２２２λｙ－３λ＝０．①直徑ＡＢ所在直線ｌ上，且新圓過原點，則有此圓圓心坐標為（－λ－２，－λ），而且圓心烄－λ－２＋４－λ＋ｍ＝０２２２，得ｍ＝－４或ｍ＝１．烅λ－２烆－４＋λｍ＝０在ｙ軸上，則－＝０，即λ＝２，代入①，得所２所以直線ｌ的方程為ｘ－ｙ－４＝０或ｘ－ｙ求圓的方程為ｘ２２＋ｙ＋４ｙ－６＝０．＋１＝０．上海中學

7、數(shù)學·２０１０年第１０期４３數(shù)學轉(zhuǎn)化的思想方法２０００８１上海市北郊高級中學曾盛數(shù)學轉(zhuǎn)化思想是“把問題元素從一種形式關鍵是如何將ｘ，ｙ表示出向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”．就解題的本質(zhì)而來，如果過點Ｃ作ＣＤ∥ＯＢ言，解題既意味著轉(zhuǎn)化，既把生疏問題轉(zhuǎn)化為熟交ＯＡ于點Ｄ，如圖２，則ｘ＝習問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，把復雜問｜ＯＤ｜，ｙ＝｜ＤＣ｜，設∠ＡＯＣ＝題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問α（０°≤α≤１２０°），∠ＯＤＣ＝圖２題，把高次問題轉(zhuǎn)化為底次問題；把未知條件轉(zhuǎn)６０°，∠ＯＣＤ＝１２０°－α，在

8、化為已知條件，把一個綜合問題轉(zhuǎn)化為幾個基｜ＣＤ｜｜ＯＤ｜△ＯＤＣ中，由正弦定理的＝本問題，把順向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維因此學生ｓｉｎαｓｉｎ（１２０°－α）學會數(shù)學轉(zhuǎn)移，有利于實現(xiàn)學習遷移，特別是原１，所以ｙ＝｜ＣＤ｜＝２２＝ｓｉｎα，ｘ＝｜ＯＤ｜＝ｓｉｎ理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學習質(zhì)槡３槡３槡３量和數(shù)學能力．２１１．借助函數(shù)進行轉(zhuǎn)化（１２０°－α）＝ｃｏｓα＋ｓｉｎα，所以ｘ＋ｙ＝ｃｏｓα＋有些數(shù)學問題，本身并無明顯的