圓系方程的應(yīng)用.pdf

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1、４２上海中學(xué)數(shù)學(xué)·２０１０年第１０期圓系方程的應(yīng)用２０１４１１上海市奉城高級(jí)中學(xué)徐勁在高二年級(jí)的數(shù)學(xué)拓展課上，當(dāng)講到圓這分析：這是一道入門(mén)級(jí)的例題，教材中講一節(jié)內(nèi)容時(shí)，筆者曾經(jīng)非常猶豫要不要將圓系授的一般方法是先求出圓與直線(xiàn)的交點(diǎn)，然方程介紹給同學(xué)們．由于現(xiàn)行高中教材中，除了后找出新圓的圓心與半徑．而利用圓系方程直線(xiàn)系方程有少量介紹外，并未涉及圓系方程思想則立足對(duì)λ的研究，稍微提高了思維基的相關(guān)內(nèi)容，而圓系方程的思想對(duì)同學(xué)們的思點(diǎn)，卻大大降低了計(jì)算的復(fù)雜度，學(xué)生更有興維能力而言確實(shí)具有相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)性．筆者經(jīng)

2、過(guò)趣和信心．例３已知直線(xiàn)ｌ：ｘ＋２ｙ－３＝０交圓Ｃ：ｘ２比較深入系統(tǒng)的研究后，挑選出圓系方程中與２課本及考綱結(jié)合比較緊密，高于教材卻又優(yōu)于＋ｙ＋ｘ－６ｙ＋ｍ＝０于點(diǎn)Ｐ、Ｑ，Ｏ為原點(diǎn)，試問(wèn)教材的一部分內(nèi)容給同學(xué)們作了介紹，取得了當(dāng)ｍ為何值時(shí)ＯＰ⊥ＯＱ？非常理想的教學(xué)效果．解：由ＯＰ⊥ＯＱ可設(shè)以ＰＱ為直徑且過(guò)原點(diǎn)的Ｏ的新圓方程為ｘ２２圓系方程思想是曲線(xiàn)系思想的一個(gè)重要組＋ｙ＋ｘ－６ｙ＋ｍ＋λ（ｘ２２成部分，基本原理是這樣的：令Ｆ（ｘ，ｙ）＝０是圓＋２ｙ－３）＝０（λ∈Ｒ）．整理得ｘ＋ｙ＋（１＋λ）ｘＡ的方程，

3、Ｇ（ｘ，ｙ）＝０是圓Ｂ（或直線(xiàn)ｌ）的方－（６－２λ）ｙ＋ｍ－３λ＝０．程，那么Ｆ（ｘ，ｙ）＋λ（Ｇ（ｘ，ｙ）＝０就是過(guò)圓Ａ與此圓圓心坐標(biāo)為（－１＋λ，３－λ），由圓心在２圓Ｂ（或直線(xiàn)ｌ）的交點(diǎn)（或切點(diǎn)）的任意圓（不含直徑ＰＱ所在的直線(xiàn)ｌ上，且由新圓過(guò)原點(diǎn)可知圓Ｂ）的方程．１＋λ應(yīng)用１：兩圓公共弦或公切線(xiàn)方程烄－＋２（３－λ）－３＝０常數(shù)項(xiàng)為０，故得２，即例１求圓ｘ２２２烅＋ｙ－２ｘ－４ｙ－４＝０與圓ｘ２烆ｍ－３λ＝０＋ｙ＋３ｘ－２ｙ－２＝０的兩圓公共弦所在的直線(xiàn)ｍ＝３，λ＝１，故當(dāng)ｍ＝３時(shí)ＯＰ⊥ＯＱ．方程

4、．分析：僅從表面上看，本題結(jié)論貌似與圓系解：由題意，得ｘ２２２＋ｙ－２ｘ－４ｙ－４＋λ（ｘ方程無(wú)關(guān)，普通解題方法利用向量垂直的性質(zhì)２＋ｙ＋３ｘ－２ｙ－２）＝０（λ∈Ｒ）．當(dāng)λ＝－１時(shí)，即可以解出，但方法稍嫌笨拙．然而就ＯＰ⊥ＯＱ這得５ｘ＋２ｙ＋２＝０就是兩圓公共弦所在的直線(xiàn)個(gè)題設(shè)而言，可以理解為存在一個(gè)以ＰＱ為直方程．徑且過(guò)原點(diǎn)的Ｏ的新圓，而Ｐ、Ｑ兩點(diǎn)正是直線(xiàn)分析：從圓系方程的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，對(duì)于過(guò)兩圓ｌ與圓Ｃ的交點(diǎn)．問(wèn)題就此解決．交點(diǎn)的任意曲線(xiàn)方程Ｆ（ｘ，ｙ）＋λＧ（ｘ，ｙ）＝０而２２例３變式：已知圓Ｃ：ｘ＋

5、ｙ－２ｘ＋４ｙ－４＝言，當(dāng)λ＝－１時(shí)，方程即是過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線(xiàn)０，問(wèn)是否存在斜率為１的直線(xiàn)ｌ，使ｌ被圓Ｃ截方程．兩圓相切時(shí)，兩圓過(guò)切點(diǎn)的公切線(xiàn)方程同得的弦ＡＢ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若存在，寫(xiě)出樣可以用這個(gè)方法求出．直線(xiàn)ｌ的方程，若不存在，試說(shuō)明理由．應(yīng)用２：圓與直線(xiàn)相交（切）解：由題意可設(shè)直線(xiàn)ｌ的方程為ｙ＝ｘ＋ｍ２２例２一圓過(guò)圓ｘ＋ｙ－２ｘ＝０與直線(xiàn)ｘ（ｍ∈Ｒ），則新圓方程為ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋４ｙ－４＋λ＋２ｙ－３＝０的交點(diǎn)，且圓心在ｙ軸上，求這個(gè)圓（ｘ－ｙ＋ｍ）＝０（λ∈Ｒ．整理得ｘ２＋ｙ２＋（λ－２）ｘ

6、的方程．＋（４－λ）ｙ－４＋λｍ＝０．解：令所求圓的方程為ｘ２２＋ｙ－２ｘ＋λ（ｘ＋λ－２４－λ得新圓圓心為（－，－），該圓心在２２２ｙ－３）＝０（λ∈Ｒ）．整理得ｘ＋ｙ＋（λ－２）ｘ＋２２２λｙ－３λ＝０．①直徑ＡＢ所在直線(xiàn)ｌ上，且新圓過(guò)原點(diǎn)，則有此圓圓心坐標(biāo)為（－λ－２，－λ），而且圓心烄－λ－２＋４－λ＋ｍ＝０２２２，得ｍ＝－４或ｍ＝１．烅λ－２烆－４＋λｍ＝０在ｙ軸上，則－＝０，即λ＝２，代入①，得所２所以直線(xiàn)ｌ的方程為ｘ－ｙ－４＝０或ｘ－ｙ求圓的方程為ｘ２２＋ｙ＋４ｙ－６＝０．＋１＝０．上海中學(xué)

7、數(shù)學(xué)·２０１０年第１０期４３數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想方法２０００８１上海市北郊高級(jí)中學(xué)曾盛數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是“把問(wèn)題元素從一種形式關(guān)鍵是如何將ｘ，ｙ表示出向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”．就解題的本質(zhì)而來(lái)，如果過(guò)點(diǎn)Ｃ作ＣＤ∥ＯＢ言，解題既意味著轉(zhuǎn)化，既把生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟交ＯＡ于點(diǎn)Ｄ，如圖２，則ｘ＝習(xí)問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)｜ＯＤ｜，ｙ＝｜ＤＣ｜，設(shè)∠ＡＯＣ＝題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)α（０°≤α≤１２０°），∠ＯＤＣ＝圖２題，把高次問(wèn)題轉(zhuǎn)化為底次問(wèn)題；把未知條件轉(zhuǎn)６０°，∠ＯＣＤ＝１２０°－α，在

8、化為已知條件，把一個(gè)綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基｜ＣＤ｜｜ＯＤ｜△ＯＤＣ中，由正弦定理的＝本問(wèn)題，把順向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維因此學(xué)生ｓｉｎαｓｉｎ（１２０°－α）學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)移，有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原１，所以ｙ＝｜ＣＤ｜＝２２＝ｓｉｎα，ｘ＝｜ＯＤ｜＝ｓｉｎ理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)槡３槡３槡３量和數(shù)學(xué)能力．２１１．借助函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化（１２０°－α）＝ｃｏｓα＋ｓｉｎα，所以ｘ＋ｙ＝ｃｏｓα＋有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，本身并無(wú)明顯的