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1、函數(shù)概念教學的幾點思考摘要：函數(shù)的概念及相關內(nèi)容是高中和職業(yè)類教材中非常重要的部分，許多學生認為這些內(nèi)容比較抽象、難懂、圖像多，方法靈活多樣。以致部分學生對函數(shù)知識產(chǎn)生恐懼感。就教學過程中學生的反應和自己的反思，淺淡幾點自己的看法。關鍵詞：函數(shù)；對應；映射；數(shù)形結合1要把握函數(shù)的實質17世紀初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數(shù)的思想，把函數(shù)一詞用作數(shù)學術語的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數(shù)符號。關于函數(shù)概念有“變量說”、“對應說”、“集合說”等。變量說的定義是：設x、y是兩個變量，如果當變量x在實數(shù)的某一范圍內(nèi)變化時，變量y按一定規(guī)律隨
2、x的變化而變化。我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數(shù)，記作y=f(x)。初中教材中的定義為：如果在某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值與之對應，那么y就是x的函數(shù)，x叫自變量，x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，和x的值對應的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域。它的優(yōu)點是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函數(shù)的實質——對應缺少充分地刻畫，以致不能明確函數(shù)是X、y雙方變化的總體，卻把y定義成X的函數(shù)，這與函數(shù)是反映變量間的關系相悖，究竟函數(shù)是指f，還是f(x)，還是y=f
3、(x)?使學生不易區(qū)別三者的關系。迪里赫萊()注意到了“對應關系”，于1837年提出：對于在某一區(qū)間上的每一確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那么y叫x的一個函數(shù)。19世紀70年代集合論問世后，明確把集合到集合的單值對應稱為映射，并把：“一切非空集合到數(shù)集的映射稱為函數(shù)”，函數(shù)是映射概念的推廣。對應說的優(yōu)點有：①它抓住了函數(shù)的實質——對應，是一種對應法則。②它以集合為基礎，更具普遍性。③它將抽像的知識以模型并賦予生活化，比如:某班每一位同學與身高(實數(shù))的對應；某班同學在某次測試的成績的對應；全校學生與某天早上吃的饅頭數(shù)的對應等都是函數(shù)。函數(shù)由定義
4、域、值域、對應法則共同刻劃，它們相互獨立，缺一不可。這樣很明確的指出了函數(shù)的實質。對于集合說是考慮到集合是數(shù)學中一個最原始的概念，而函數(shù)的定義里的“對應”卻是一個外加的形式，，似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫()采用了純集合論形式的定義：如果集合fC{(x,y)
5、x￡A,yEB}且滿足條件，對于每一個xEA,若(X，yl)ef,(x,y2)Ef，貝ljyl=y2,這時就稱集合f為A到B的一個函數(shù)。這里f為直積AXB={(x,y)
6、xeA,yEB}的一個特殊子集，而序偶(x，y)又是用集合定義的：(x，y)={{x}，{x，y}}.定義過于形式化，它舍棄了函
7、數(shù)關系生動的直觀，既看不出對應法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學生理解，而且在推導中也不便使用，如此完全化的數(shù)學語言只能在計算機中應用。2加強數(shù)形結合數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽像概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。在7—12年級所研究的函數(shù)主要是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，對每一類函數(shù)都是利用其圖像來研宄其性質的，作圖在教學中顯得無比重要。我認為這一部分的教學要做到學生心中有形，函數(shù)圖像就相當于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數(shù)性質就比較直觀，處理問題時就會得心應手。函數(shù)觀念和數(shù)形結合在數(shù)列及平面幾何中也
8、有廣泛的應用。如函數(shù)y=
9、x2-x-12
10、單調區(qū)間，令x2-x-121=
11、(x-?)
12、，t=0時，x=_3或x=4，知t函數(shù)的圖像是變形后的拋物線，其對稱軸為x=?與x軸的交點是x=-3或x=4并開口向上，其xe(-3,4)的部分由x軸下方翻轉到x軸上方，再考慮對數(shù)函數(shù)性質即可。又如：判定方程3x2+6x=lx的實數(shù)根的個數(shù)，該方程實根個數(shù)就是兩個函數(shù)y=3x2+6x與y=l/x圖像的交點個數(shù)，作出圖像交點個數(shù)便一目了然。3將映射概念下放就前面三種函數(shù)概念而言，能提示函數(shù)實質的只有“對應說”，如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對應說”的定義，可有以下優(yōu)點
13、：⑴體現(xiàn)數(shù)學知識的系統(tǒng)性，也顯示出時代信息，為學生今后的學習作準備。⑵凸顯數(shù)學內(nèi)容的生活化和現(xiàn)實性，函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學模型。⑶變抽像內(nèi)容形像化，替換后學生會感到函數(shù)概念不再那么抽像難懂，好像伸手會觸摸到一樣，身邊到處都有函數(shù)。學生就會感到函數(shù)不再那么可怕，它無非是一種映射。只需將集合論的初步知識下放一些即可，學生完全能夠接受，因為從小學第一學段就已接觸到集合的表示方法，第二學段已接觸到集合的運算，沒有必要作過多擔心。以前有人提出將概率知識下放的觀點當時不也有人得出反對意見嗎？可現(xiàn)在不也下放到了小學嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜
14、接更自然，學生易于接受，學生就不會提出
