歐幾里得《原本》

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1、歐幾里得的《原本》從希波克拉底到歐幾里得，其間經(jīng)歷了150年。在這150年間，希臘文明發(fā)展并臻于成熟，因柏拉圖、亞里士多德、阿里斯托芬和修昔底德的著作而光大。甚至在伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭(zhēng)的動(dòng)亂中和在亞歷山大大帝統(tǒng)治的希臘帝國全盛時(shí)期，希臘文明都在發(fā)展。到公元前300年時(shí)，希臘文化的發(fā)展已跨越地中海，并擴(kuò)展到更遙遠(yuǎn)的世界。在西方，希臘統(tǒng)治至高無上。在從公元前440年到公元前300年期間，許多偉人都曾為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出過不朽的貢獻(xiàn)，其中有柏拉圖（公元前427—347年）和歐多克索斯（公元前約408—355＿年），雖然只有后者才是真正的數(shù)學(xué)家。柏拉圖，雅典的偉

2、大哲學(xué)家。我們之所以提到他，主要不是因?yàn)樗麑?duì)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造，而是因?yàn)樗麑?duì)數(shù)學(xué)的熱情和高度評(píng)價(jià)。柏拉圖年輕時(shí)在雅典師從蘇格拉底，我們對(duì)他那位值得尊敬的老師的了解，主要也由此而來。柏拉圖曾漫游世界多年，認(rèn)識(shí)了許多偉大的思想家，并形成了他自己的哲學(xué)思想體系。公元前387年，他返回他的出生地雅典，并在那里建立起學(xué)園。學(xué)園聚集了不少飽學(xué)之士來此獻(xiàn)身于學(xué)習(xí)和研究。在柏拉圖的引導(dǎo)下．希臘學(xué)園成為那個(gè)時(shí)代～流的思想中心。在學(xué)園眾多的學(xué)科中，沒有一個(gè)學(xué)科能比數(shù)學(xué)更受重視。數(shù)學(xué)的美感和條理與秩序吸引了柏拉圖，代表了他心目中未受單調(diào)日常生存需求污染的理想的抽象世界。柏拉

3、圖認(rèn)為，數(shù)學(xué)是鍛煉思維的最佳途徑，其嚴(yán)密的邏輯推理要求人們極度專注、機(jī)敏和謹(jǐn)慎。據(jù)說，穿過拱形門樓，進(jìn)入這一久負(fù)盛名的學(xué)園，首先映入眼簾的是一行大字：“不懂幾何的男子請(qǐng)勿入內(nèi)’”。盡管這一警句帶有明顯的性別歧視．但卻反映．一種觀點(diǎn)，即只有那些首先證明自己在數(shù)學(xué)上成熟的人才有能力面對(duì)學(xué)園的智力挑戰(zhàn)?？梢哉f，柏拉圖把幾何學(xué)看作理想的入學(xué)要求，看作～伸當(dāng)時(shí)那個(gè)時(shí)代的學(xué)術(shù)能力測(cè)驗(yàn)。雖然現(xiàn)在人們很少把當(dāng)初的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)歸于柏拉圖的名下，但希臘學(xué)園的確培養(yǎng)了許多頗有才華的數(shù)學(xué)家、其中一個(gè)無可爭(zhēng)辯的偉大數(shù)學(xué)家就是尼多斯的歐多克索斯。歐多克索斯在學(xué)園創(chuàng)建初期就來到

4、雅典，并直接聆聽過柏拉圖的演講。歐多克索斯的貧困迫使他不得不居住在雅典的郊區(qū)比雷埃夫斯，每R往返于學(xué)園和比雷埃夫斯之間，成為最早的通勤者（雖然我們不能確切知道，他是否需要支付遠(yuǎn)郊車費(fèi)）、在他后來的生涯中，他曾到過埃及，后來又返回他的出生地尼多斯。在這期間，他注意吸收新的科學(xué)發(fā)現(xiàn)，并不斷擴(kuò)充科學(xué)的疆界。歐多克索斯對(duì)天文學(xué)尤其感興趣，他對(duì)月球和行星的運(yùn)動(dòng)做出了深入的解釋，在16世紀(jì)哥白尼革命之前，其學(xué)說頗有影響。他從不接受對(duì)自然現(xiàn)象的天命的或神秘的解釋，相反，他主張對(duì)自然現(xiàn)象進(jìn)行觀察，并作出理性的分析。因此，托馬斯·希思爵士曾稱道說：“如果當(dāng)時(shí)有科

5、學(xué)家的活，他稱得起是其中一個(gè)。4據(jù)認(rèn)為，歐多克索斯對(duì)數(shù)學(xué)作出了兩大貢獻(xiàn)，其～是比例論，其二是窮竭法。畢達(dá)哥拉斯派曾因發(fā)現(xiàn)不可通約量而陷入絕境，而歐多克索斯的比例論則對(duì)走出這種絕境提供了邏輯依據(jù)。畢達(dá)哥拉斯派的絕境在有關(guān)相似三角形的幾何定理中尤為明顯，這些定理最初是根據(jù)一種假設(shè)論證的，即任何兩個(gè)量都是可公度的。當(dāng)這一假設(shè)被推翻后，幾何學(xué)中一些最重要的定理也隨之瓦解。這就是人們有時(shí)所謂的希臘幾何的“邏輯恥辱”。也即，人們雖然相信這些定理是正確的。但他們卻拿不出有力的證據(jù)來支持他們的觀點(diǎn)。正是歐多克索斯發(fā)明的比例論為人們提供了這一長(zhǎng)期尋覓的證據(jù)。他的

6、理論自然使希臘數(shù)學(xué)界人士如釋重負(fù)。我們?nèi)缃窨梢栽跉W幾里得的《原本》》第五篇中找到歐多克索斯的理論。歐多克索斯的另一個(gè)偉大貢獻(xiàn)，即窮竭法。可以直接應(yīng)用于確定更加復(fù)雜幾何圖形的面積和體積。他所采用的一般方法是，用一系列已知的基本圖形不斷逼近不規(guī)則圖形，而每一次逼近都比前一次更加近似于原圖形。例如，我們可以認(rèn)為，圓形是包含在一曲線里的圖形，因而也是一種非常難于解出的平面圖形。但是，如果我們?cè)趫A內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接正方形，然后再把正方形的每條邊～分為二，使之成為八邊形，再把八邊形的每條邊平分，使之成為16邊形，等等，依次進(jìn)行，我們就可以得到一個(gè)非常近似于圓形面

7、積的比較簡(jiǎn)單的多邊形。用歐多克索斯的話說，這個(gè)多邊形從內(nèi)部“窮竭”了圓。實(shí)際上，這個(gè)過程就是阿基米德確定圓面積的過程，我們將在第四章看到。阿基米德不僅將這一基本邏輯理論歸功于歐多克索斯，而且還認(rèn)為他用窮竭法證明了“任何錐體的體積都等于與之同底同高柱體體積的三分之一”，這決不是一個(gè)無足輕重的定理。熟悉高等數(shù)學(xué)的讀者都會(huì)承認(rèn)，窮竭法是現(xiàn)代“極限”概念的幾何先驅(qū),同時(shí)也是微積分的中心。歐多克索斯的貢獻(xiàn)意義十分深遠(yuǎn)，人們一般認(rèn)為他是僅次于最偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德本人的古希臘卓越數(shù)學(xué)家。公元前四世紀(jì)的最后30年，馬其頓國王亞歷山大大帝即位，并出發(fā)征服世界、

8、公元前332年，亞歷山大大帝征服埃及，隨之在尼羅河口建亞歷山大城。這座城市發(fā)展極為迅速，據(jù)說在其后30年間，人口已達(dá)50萬。而更為重要的是，在這座城市