第八章隨機(jī)變量和其概率分布

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1、備課教案第八章隨機(jī)變量及其概率分布第八章隨機(jī)變量及其概率分布§8.1離散型隨機(jī)變量及其分布律一．隨機(jī)變量我們注意到這樣的現(xiàn)象：（1）隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果往往表現(xiàn)為數(shù)量，如：擊中次數(shù)、潮位數(shù)值、投擲骰子等。（2）若不表現(xiàn)為數(shù)量，可使其數(shù)量化，如：抽牌時(shí)，將牌張編號(hào)等。以X表示試驗(yàn)的數(shù)值結(jié)果，則X是隨機(jī)變量。（解釋“隨機(jī)”）即取值是隨機(jī)的變量叫隨機(jī)變量。舉例：（1）擲幣：X為“出現(xiàn)正面的次數(shù)”，X的可能取值為1、0。即{X=1}=“正面朝上”，{X=0}=“反面朝上”，并且P{X=1}=P{X=1}=0.5（2）抽牌：X為“抽得牌張編號(hào)“，X的可能取值為1，2，3，…，52。{14≤X

2、≤26}=“抽到紅心”隨機(jī)變量用大寫字母X、Y、Z等表示。特別注意：隨機(jī)變量的取值或取值范圍表示隨機(jī)事件，而我們研究隨機(jī)變量最主要的就是隨機(jī)變量的取值或在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率（隨機(jī)變量X本身不是事件）。即或二．離散型隨機(jī)變量如果X的取值（可以有限也可以無(wú)限）可以一一列出，即可以排隊(duì)的，則稱X是離散型的隨機(jī)變量。設(shè)X的可能取值為xk(k=1,2,…,n)，并且相應(yīng)的概率P{X=xk}=pk都知道，則該隨機(jī)變量的規(guī)律就完全搞清楚了。X的規(guī)律是指①弄清可能取值②知道概率。寫成矩陣形式：～這個(gè)表格稱為分布律（分布列）。分布律應(yīng)滿足以下條件（性質(zhì)）：（1）；（2）分別叫做概率的非負(fù)性和

3、概率的完備性。例1求a的值，使X的分布律為。解：【注】分布律可以列表，也可用公式表示，本質(zhì)都是以概率為函數(shù)值的一種特殊的函數(shù)，僅僅是表示的形式不同而已。17備課教案第八章隨機(jī)變量及其概率分布例2現(xiàn)有10件產(chǎn)品中，其中有3件次品，現(xiàn)任取兩件產(chǎn)品，記X是“抽得的次品數(shù)”，求X的分布律。解X可能取值為0，1，2，（這是關(guān)鍵步驟，常被忽視而致思維受阻）。概率為，，則分布律為～【注】求分布律，首先弄清X的確切含義及其所有可能取值。例3一種有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬(wàn)戶為一開獎(jiǎng)組。設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；一等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬(wàn)名，獎(jiǎng)金4元。求一

4、戶得獎(jiǎng)?lì)~X的分布律。解X的可能取值為4000，400，40，4，0（最后一值易漏，要特別注意，絕大多數(shù)是不中獎(jiǎng)的），易求分布律～以下討論三種常見的分布：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布三．兩點(diǎn)分布X的可能取值僅兩點(diǎn)0和1，且P{X=1}=p，則分布律為～其中，則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布（0-1分布）。例4袋中裝6只白球和4只紅球，任取一只，為“取得白球數(shù)”，求的分布律。解P{X=1}=0.6，則的分布律為～【注】任何隨機(jī)試驗(yàn)都可與兩點(diǎn)分布相聯(lián)系：設(shè)A是試驗(yàn)中某一事件，X是“一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)”，若P(A)=p，則X的分布律為（X=0表示A未出現(xiàn)）～四．二項(xiàng)分布1．貝努里（B

5、ernoulli）試驗(yàn)將隨機(jī)試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立地重復(fù)n次，觀察事件A出現(xiàn)的次數(shù)，稱為貝努里試驗(yàn)，或n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。如：射擊n次，中幾次？有放回的抽樣（抽牌、模球、檢驗(yàn)產(chǎn)品）。事件A出現(xiàn)k次的概率記為Pn(k)。例5產(chǎn)品次品率為0.2，有放回地抽5次，求出現(xiàn)2次次品的概率(可見《貝努里試驗(yàn)》Flash動(dòng)畫演示)。17備課教案第八章隨機(jī)變量及其概率分布解即求P5(2)，出現(xiàn)次品為A，5次抽樣情況可以是，這樣的情況共有種，互不相容，其概率都是，所以由加法定理得。一般地，在貝努里試驗(yàn)中，出現(xiàn)的概率是p，q=1-p，則這種概率模型稱為貝努里概型。2．二項(xiàng)分布X是n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中A

6、事件出現(xiàn)的次數(shù)，P(A)=p，則（）稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布（或貝努里分布），記X~B(n,p)。例6，產(chǎn)品次品率為10%，任意抽取5件樣品，求最多有2件次品的概率。解：產(chǎn)品量很大時(shí)，不放回近似于放回，所以這是貝努里概型且p=10%=0.1，現(xiàn)在求P{X≤2}：【注】要重視應(yīng)用二項(xiàng)分布的現(xiàn)成結(jié)論。常見的二項(xiàng)分布實(shí)際問(wèn)題：①有放回或總量大的無(wú)放回抽樣；②打槍、投籃問(wèn)題（試驗(yàn)n次發(fā)生k次）；③設(shè)備使用、設(shè)備故障問(wèn)題。例7螺絲次品率為0.05，十個(gè)一包出售，多于一個(gè)次品可退貨，求退貨率。解螺絲量大，近似于有放回抽樣，次品數(shù)~，求P{X>1}。但直接求很繁，可先求不多于一個(gè)次品

7、的概率（可以查表計(jì)算）。所以退貨率為1-0.9139=0.0861=8.6%。五．泊松(Poisson)分布若X的可能取值為（無(wú)窮）且　則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為X~。利用冪級(jí)數(shù)知識(shí)可以證明泊松分布來(lái)自于“排隊(duì)現(xiàn)象”，刻畫稀有事件出現(xiàn)的概率。如某時(shí)間段內(nèi)的電話呼叫、紗線斷頭、顧客到來(lái)、車輛通過(guò)等。當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，即17備課教案第八章隨機(jī)變量及其概率分布§8.2連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一．連續(xù)型隨機(jī)變量1．概率密度的取值連成一片（成為一些區(qū)間），就是連續(xù)型隨機(jī)變量。如零件尺寸、電