概率統(tǒng)計(jì)第二章 隨機(jī)變量和其分布

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1、第二章隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)隨機(jī)變量的概念第一章給出了概率論定義，并討論了最簡(jiǎn)單的概型中隨機(jī)事件的概率計(jì)算問(wèn)題．在遇到簡(jiǎn)單的具體事件時(shí)，可以先判斷其類型，然后求概率．然而，實(shí)際中遇到的概率問(wèn)題往往錯(cuò)綜復(fù)雜、千變?nèi)f化，并非都是我們所熟悉的簡(jiǎn)單的概型．這時(shí)，需要全面、系統(tǒng)地研究隨機(jī)試驗(yàn)．隨機(jī)變量的引入是概率論發(fā)展史上的里程碑，它使得對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究轉(zhuǎn)化為普通函數(shù)的研究，從而可用微積分工具，使得概率論研究躍上了一個(gè)更高的臺(tái)階．可以這樣說(shuō)，沒(méi)有隨機(jī)變量，概率論就稱不上是一門真正的新學(xué)科．一隨機(jī)變量（RandomVariable）的概念1.隨機(jī)變量：隨機(jī)變量是這樣的有種變量，它

2、的數(shù)值是隨著試驗(yàn)的結(jié)果而定的，由于試驗(yàn)的結(jié)果是隨機(jī)的，所以它的數(shù)值具有隨機(jī)性.當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果確定后，它也就相應(yīng)地取得確定的數(shù)值，而在試驗(yàn)前是不可能預(yù)料它將取得什么數(shù)值的.這樣，隨機(jī)試驗(yàn)就引出了一種變量，它隨著結(jié)果的不同而取不同的值，而結(jié)果是不確定的、隨機(jī)的，故稱這樣的變量為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母等表示，而其取值常用相應(yīng)的小寫字母等表示．引入了隨機(jī)變量，就可以用它統(tǒng)一表示我們關(guān)心的事件．隨機(jī)變量的不同取值實(shí)質(zhì)上形成了一系列隨機(jī)事件，這樣，關(guān)于事件的研究就可以納入到隨機(jī)變量里來(lái)，不同事件的概率及相互關(guān)系可統(tǒng)一處理，從而有利于研究隨機(jī)事件的本質(zhì)規(guī)律．可以這樣說(shuō)，隨機(jī)事件

3、是以靜態(tài)的孤立的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的全面的觀點(diǎn)研究隨機(jī)現(xiàn)象．例1.設(shè)有100件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中任意取10件，設(shè)“抽得的次品件數(shù)”為X，則X就是一個(gè)隨機(jī)變量.，這里{}==“任意取10件中，恰有個(gè)次品”，例2.某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)在連續(xù)向一個(gè)目標(biāo)射擊，直到首次擊中目標(biāo)時(shí)為止.設(shè)“射擊次數(shù)”為X，則X就是一個(gè)隨機(jī)變量：.此時(shí)，事件“直到第5次才擊中目標(biāo)”可用{}來(lái)表示.例3.某長(zhǎng)途汽車站每隔10分鐘有一輛汽車經(jīng)過(guò)，假設(shè)乘客在任一時(shí)刻到達(dá)汽車站是等可能的，則“乘客等候汽車的時(shí)間”X就是一個(gè)隨機(jī)變量，它在0~10分鐘之間取

4、值.2.隨機(jī)變量的分類：由上面的例可以看出，有的隨機(jī)變量，它的取值能夠一一列舉出來(lái)，（包括有限個(gè)或無(wú)窮可列個(gè)）；但有的隨機(jī)變量，它的取值不能夠一一列舉出來(lái)，（包括無(wú)限不可列個(gè)或取值充滿某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間）。我們把前面一類稱為離散型隨機(jī)變量，把后面一類稱為非離散型隨機(jī)變量（其中最主要的，最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量）.第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律一.離散型隨機(jī)變量及其分布律1.離散型隨機(jī)變量(Discreterandomvariable)[定義]若隨機(jī)變量X的所有可能取值為有限個(gè)或可列個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量，2.離散型隨機(jī)變量的概率分布(Probability(mass)f

5、unction)．：離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為，X取各個(gè)可能值的概率為，則稱函數(shù)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布（或分布律）.【注1】分布律的表格形式：【注2】分布律可完整刻畫離散型隨機(jī)變量的概率分布．利用分布律可求任意事件的概率：3.分布律的基本性質(zhì)性質(zhì)1：(非負(fù)性)性質(zhì)2：．(正則性)例1.盒中有2白球、3紅球．從中任取3個(gè)，求取得的白球數(shù)X的分布律．解：X的可能取值為：0，1，2.；；.X012P3/106/101/10例2.問(wèn)最多取出1個(gè)白球的概率是多少？解：==.例3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為，試求．解：∵，∴，故：.二常見(jiàn)的離散型分布概率論實(shí)踐中總結(jié)出了重

6、要的幾類概率模型和與之相關(guān)的隨機(jī)變量的概率分布．我們需要了解這些重要的概率分布及其產(chǎn)生的背景，從而指導(dǎo)決策．1.二項(xiàng)分布（Binomialdistribution）1）二項(xiàng)分布的定義[定義]若隨機(jī)變量的分布律為則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記為．【注3】二項(xiàng)分布的背景：n重伯努利試驗(yàn)中“成功”（事件）的次數(shù)，其中，即一次試驗(yàn)成功的概率．【注4】“二項(xiàng)”名稱的由來(lái)：∵，（）恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)．【注5】時(shí)的二項(xiàng)分布又稱為0-1分布．0-1分布的分布律：．或例4.某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中概率為0.03，獨(dú)立射擊300次．試求至少命中兩次的概率．解由題意，命中次數(shù)，即的

7、分布律為．于是所求概率為：.【注6】全不成功的概率：全部成功的概率：至少成功一次的概率：至少成功兩次的概率：．【注7】關(guān)于小概率事件：*實(shí)際推斷原理或小概率事件原理：“小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的．”*只要試驗(yàn)次數(shù)很多，而且試驗(yàn)是獨(dú)立地進(jìn)行，那么小概率事件的發(fā)生是幾乎可以肯定的．2）二項(xiàng)分布的泊松近似泊松（Poisson）定理：設(shè)是常數(shù)，則對(duì)任一非負(fù)整數(shù)，有【注8】泊松定理表明，當(dāng)n很大（P很小）時(shí)，．回到例4的計(jì)算，，則可取.的值可查表計(jì)算.則：.2泊松分布（Poissondistribution）[定義]若隨機(jī)變量X的分布律為其中是常