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1、附：梁的彎曲與圓柱的扭曲abG圖6.7，梁的中間層沒有被壓縮，梁中間層之上的各層面，將發(fā)生不同程度的擠壓；而梁中間層之下的各層面，將發(fā)生不同程度的拉伸。除了拉伸壓縮和剪切形變之外，連續(xù)彈性介質體內還會發(fā)生兩種形變，一種是彎曲，另一種是扭曲。為了討論方便，我們以方形的梁為彎曲的例子，以圓柱來討論扭曲。10、梁的彎曲θRdzz圖6.8，考慮距中間層為厚為的一層。如圖6.7，考慮一兩端有支撐的方形梁。如果梁的中部有負載時，梁將發(fā)生彎曲。將橫梁分成不同的層面，則梁彎曲后，梁的中間層將沒有被拉伸和壓縮；梁中間層之上的各層面，將發(fā)生不同程度的擠壓；而梁中間層之下的各層面，將發(fā)生不同程度的拉伸。由
2、此可見，梁的彎曲，是由不同程度的拉伸和擠壓組成的。如果梁的長為、寬為、厚為，梁彎曲后形成弧角為θ、半徑為的圓弧，則考慮距中間層為厚為的一層(如圖6.8)，其長度將變?yōu)橄鄳?，該層的形變量就為RFZF/圖6.9，內力對中間層的力矩。其應變就為E(6.3.1)現(xiàn)在考慮該層所受到的正應力s，這正應力沿該層圓弧的切向。由胡克定律，應有sE(6.3.2)而該層的橫截面寬為，厚為，面積就為，作用在該橫截面上相應的總內力就σ。而該梁層上的內力對中間層的力矩就為注意到中間層之上各層的內力是擠壓性的，中間層之下各層的內力是拉伸性的。它們對中間層的力矩由于對稱性，大小相同，方向也相同。故將(2)式代入并
3、對各層求和積分，就得到總的內力對中間層的力矩(6.3.3)橫梁彎曲平衡時，外力矩與內力矩大小相等，方向相反。故(6.3.4)4所以，橫梁彎曲平衡時，橫梁彎曲的曲率就為k(6.3.5)QyQaboxxG圖6.10，梁的中間層沒有被壓縮，梁中間層之上的各層面，將發(fā)生不同程度的擠壓；而梁中間層之下的各層面，將發(fā)生不同程度的拉伸。顯然，由于中間層無拉伸與壓縮。因此，中間層無正應力?？紤]到這一點，一般在工程上，作為鋼梁，會采用工字鋼或空心鋼管。又考慮到橫梁上部各層的內力是擠壓性的，下部各層的內力是拉伸性的，所以對鋼筋混凝土橫梁，底層會多用鋼筋，以利用鋼筋的抗拉能力；而上層會少用鋼筋，多用水泥，
4、以利用混凝土的抗壓能力。下面我們考慮如圖6.10橫梁中部壓有重物G時，如何計算梁中部的擾度。建立坐標系如圖，曲梁中性層曲線在x點處的曲率為(6.3.6)在橫梁彎曲微小的情況下，，從而(6.3.7)在梁平衡時，考慮從x到右端支點一段橫梁的受力，左端面受如圖6.9內力偶()的作用，右端受支撐力Q的作用。內外力矩平衡，有(6.3.8)既有(6.3.9)注意到橫梁彎曲微小的情況下，支點處橫梁所受的支撐反力Q可看成是豎直向上的。由于對稱性，應有Q=G/2?，F(xiàn)對x積分，并由邊界條件，定出積分常數(shù)，就得到(6.3.10)將代入，就得到右端點的y值，也就是橫梁中點的撓度，即（6.3.11）這樣，只要
5、測到橫梁的撓度，就能得到橫梁材料的楊氏模量。4drdrφr放大ψl圖6.11，在放大的截面上，任意一條矢徑都會被扭轉一個角度φ，而半徑為r、寬dr的圓環(huán)，則整體扭轉了rφ.20、圓柱的扭曲對于半徑為的圓柱，如果一端固定，另一端在外力作用下轉動時，則外力對中心軸線就有一個扭力矩的作用。此時，圓柱會發(fā)生扭曲形變。若把圓柱分為一層層橫截層面，則每一層都作了切變。假設在受力一端的橫截面上，任意一條矢徑都會被扭轉一個角度φ(如圖6.11)。而在這橫截面上，取半徑為寬為的圓環(huán)。在微小形變的情況下，環(huán)上某點處將由于扭曲而偏移了的距離。若圓柱的長度為，則環(huán)上該點處的切應變就為y(6.3.12)若假設
6、該點處的切應力設為t，由胡克定律可有ty而整個環(huán)上的內力對中心軸線的力矩就為t×2p對柱的整個橫截面積分，就得到整個橫截面的內力矩扭曲到達平衡時，內力矩與外力矩大小相等，即有(6.3.13)圖6.12，長為l的金屬絲，下懸一水平的金屬棒，可作扭擺。如果圓柱為一細長的金屬絲(桿)，下懸一轉動慣量為I的水平金屬棒，這就可以構成卡文迪許扭秤，也可以是扭擺。作為扭擺，其運動微分方程為（6.3.14）取(6.3.15)則扭擺的周期為（6.3.16）又若金屬絲（桿）下懸轉動慣量為I1的水平金屬棒時，扭擺的周期為T1，再在金屬棒上疊加一轉動慣量為I2的物體后，測得扭擺的周期為T2，則有4后式減前式
7、，并用金屬絲(桿)的直徑d代替半徑R，就得到切邊模量(6.3.17)4
