數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練思維的幾點思考

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1、數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練思維的幾點思考【摘要】數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法。掌握“數(shù)”與“形”的特點、規(guī)律及其相互聯(lián)系，根據(jù)問題的需要靈活運用數(shù)形轉(zhuǎn)換、滲透、對照、交融等方式可有效提高學(xué)生思維品質(zhì)?！　　娟P(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練思維品質(zhì)　　【】G632【】A【】1674－4810（2011）21－0168－02　　　　著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中最古老的，也是最本質(zhì)的兩樣?xùn)|西。近代數(shù)學(xué)的一切發(fā)展離不開“數(shù)”與“形”，兩者不可偏廢。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的必然選擇。在中學(xué)數(shù)學(xué)教

2、學(xué)中，數(shù)形結(jié)合作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法正日益受到重視?！皵?shù)”與“形”既是學(xué)習(xí)過程中感知的對象即思維的材料，又是思維的產(chǎn)品。掌握“數(shù)”與“形”的特點、規(guī)律及其相互聯(lián)系的過程，就是加工思維產(chǎn)品的過程。而不失時機地抓住兩者的結(jié)合，可使感知與思維多角度、多層次深入展開，從而有效提高學(xué)生的思維品質(zhì)。下面介紹筆者的一些探索，以求拋磚引玉?！　∫挥伞皵?shù)”見“形”，直覺作橋，訓(xùn)練思維的敏捷性　　基于學(xué)生對“數(shù)”與“形”內(nèi)在聯(lián)系的認識，可由“數(shù)”見“形”，把原來由數(shù)與式的單項思考轉(zhuǎn)化為以直覺思維

3、作橋梁，通過跳躍的方式進行思考與判斷，從而縮短加工思維產(chǎn)品的過程，提高思維的敏捷性。如，已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且在（－∞，0）上是增函數(shù)，問：f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？應(yīng)該說依定義判斷對訓(xùn)練邏輯思維至關(guān)重要。若同時教給學(xué)生以形代推，運用直覺思維，則獲得結(jié)論的速度將更快。具體作法：先畫出y＝f（x）在（－∞，0）上的略圖（見圖1），再利用偶函數(shù)圖像的對稱性做出它在（0，＋∞）上的略圖，其增減性一目了然?！　《伞靶巍钡健皵?shù)”，由表及里，錘煉思維的深刻性　　透過“形”的外表，揭示

4、其內(nèi)在的數(shù)量特征，探討“數(shù)”與“形”的本質(zhì)聯(lián)系與規(guī)律，這種由表及里的思維過程，對發(fā)展學(xué)生思維的深刻性有重要意義?！　±?，分別畫出傾角不同的直線，讓學(xué)生辨認其斜率的范圍；給出ax2＋by2＝1的不同圖形（橢圓、雙曲線、平行直線等），判斷在不同情況下a、b的范圍及其絕對值間的大小關(guān)系等，這樣學(xué)生對于不同曲線的特征與相應(yīng)的解析式（或方程）中參數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系有更準(zhǔn)確、更深入的認識?！　∪龜?shù)形滲透，多方聯(lián)想，增強思維的靈活性　　很多單憑式子變換深感棘手的問題，在“形”的配合下化難為易；不少錯綜復(fù)雜的形的變換

5、，借助于“數(shù)”的運算而避繁就簡。數(shù)形互相滲透，促發(fā)了多方聯(lián)想，從而開辟了多角度、多層次思維的通途?！　±?，矩形ABCD由三個全等的正方形聯(lián)成（見圖2），求證∠AFB＋∠ACB＝45°。學(xué)了相關(guān)知識后，可發(fā)動學(xué)生采用平幾、三角、解析、代數(shù)（復(fù)數(shù)）等各種方法證明。用數(shù)形結(jié)合的思想叩開他們靈活思維的大門，思維的創(chuàng)造性也孕育其中?！　∷臄?shù)形對照，比較鑒別，發(fā)展思維的批判性　　“數(shù)”與“形”從兩個不同的角度或方向反映同一事物的屬性，對同一問題而言，二者應(yīng)取得一致的效應(yīng)。有些單方思考不易發(fā)現(xiàn)的錯誤，通過數(shù)形

6、對照，比較鑒別，摒棄那些經(jīng)不起檢驗的東西。　　如解答圖像選擇題，要求使給出的解析式（或方程）與形狀各異的圖像選擇支對號，解答中需充分調(diào)動直覺思維與分析思維，將各圖像的特征與解析式認真對照，發(fā)現(xiàn)矛盾，決定取舍。在此過程中，觀察、聯(lián)想、對比交錯進行，甚至還需多層次由定性到定量的觀察與對比，這對于準(zhǔn)確把握事物的特征，摒棄謬誤，形成批判性思維是一次很好的鍛煉?！　∥鍞?shù)形交融，擺脫程序，啟迪思維的創(chuàng)造性　　通過“數(shù)”與“形”溝通，兩方面的信息和規(guī)律在學(xué)生頭腦中互相促進、引發(fā)聯(lián)想，兩路思維交融，擺脫順著一個方

7、向思考的思維定勢，萌生創(chuàng)造性思維?！　±?，m為何值時，不等式x2－logmx＜0在（0，）內(nèi)恒成立？　　受習(xí)慣性思維束縛的學(xué)生把精力集中在不等式變形：由x2－logmx＜0得x2＜logmx，∴l(xiāng)ogmmx2＜logmx；當(dāng)m＞1時，mx2＜x；當(dāng)0＜m＜1時，mx2＞x等等，無法作出判斷。數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練有素的學(xué)生則通過觀察，采取式子變換與圖形判斷交錯進行思維：由x2－logmx＜0得x2＜logmx。后面不等式兩邊實質(zhì)分別是x的二次函數(shù)與對　　數(shù)函數(shù)。變換思維角度：令f（x）＝x2，g（x）＝l

8、ogmx分別作出它們的草圖，本題就轉(zhuǎn)化為：“m為何值時，在區(qū)間（0，）內(nèi)f（x）的圖像恒在g（x）圖像的下方？”由于問題條件隱蔽，y＝g（x）的草圖仍需配合式中數(shù)量關(guān)系分析：∵f（x）＝x2在（0，）內(nèi)恒正，又∵logmx＞x2，∴l(xiāng)ogmx在（0，）也恒正，∴m∈　?。?，1），此時方可作出f（x）與g（x）的草圖（見圖3），對照圖形中的特殊點及曲線的增減性，再進行第二層次的數(shù)量關(guān)系推導(dǎo)：∵當(dāng)x＝時，f（x）＝，又∵f（x）在（0，＋∞上為增函數(shù)，而g（x）在（0，＋∞）上為減函