數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

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1、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用【摘要】數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，數(shù)和形常常結(jié)合在一起,通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而有助于尋求解決問題的方法?！　　娟P(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)量關(guān)系；數(shù)學(xué)圖形　　　　數(shù)和形是數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象，數(shù)學(xué)語言具有抽象性而數(shù)學(xué)圖形具有直觀性。在學(xué)習(xí)和實(shí)際應(yīng)用過程中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想觀察問題、分析問題、解決問題。所謂數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使

2、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。下面談一談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用。　　1借助“由形到數(shù)”精確判斷圖形位置　　蘇科版八年級(jí)上冊(cè)二元一次方程組的圖象解法，本節(jié)主要體現(xiàn)方程與函數(shù)的聯(lián)系。在實(shí)際運(yùn)用中，我們很難從圖象中直接、準(zhǔn)確讀出交點(diǎn)坐標(biāo)。此時(shí)，常會(huì)把兩一次函數(shù)兩函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成二元一次方程組，通過求解二元一次方程組可以得出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)。　　例如，觀察右圖求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)?！　”绢}很難從圖中直接讀出交點(diǎn)坐標(biāo)，由圖可得直線l1的經(jīng)過　　點(diǎn)(

3、-1,0)和(0,1)，所以函數(shù)關(guān)系式為y=x1；直線l2的經(jīng)過　　點(diǎn)(2,0)和(0,2)，所以函數(shù)關(guān)系式為y=-x2；聯(lián)立函數(shù)關(guān)系式，得二元一次方程組，求解得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為。　　本題仍可以繼續(xù)拓展，觀察圖象請(qǐng)說出當(dāng)x取值時(shí)，y1＞y2；當(dāng)x取何值時(shí)，y1＜y2？解決此問兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵，觀察圖形明顯可以看出當(dāng)時(shí)，直線l1在直線l2的上方，所以y1＞y2；當(dāng)時(shí)，直線l1在直線l2的下方，所以y1＜y2?！坝尚蔚綌?shù)”直觀形象對(duì)圖形的位置關(guān)系，函數(shù)值的大小關(guān)系可以作出準(zhǔn)確判斷。　　2“由數(shù)

4、到形”形象定性抽象內(nèi)容　　數(shù)學(xué)中不少數(shù)量及其關(guān)系比較復(fù)雜、抽象我們難以把握，由于圖形比較直觀、形象，能夠表達(dá)較多的思維，對(duì)于此類問題的解決起著定性的作用。如果能把“數(shù)”對(duì)應(yīng)的“形”找出來，把數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，方便解決問題?！　?.1“由數(shù)到形”在不等式中的應(yīng)用　　蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中不等式組解集的確定，常把兩不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，根據(jù)圖形找出兩不等式的解集的公共部分，從而確定原不等式組的解集?！　±?，解不等式組　　由（1）可得x＜4；由（2）可得x-1＞-1在數(shù)軸上表示出不等式（1）、

5、（2）的解集為：　　根據(jù)不等式組解集的意義，可以知道原不等式組的解集為-1＜x＜4?！　?.2“由數(shù)到形”在勾股定理驗(yàn)證中的應(yīng)用　　勾股定理是初中數(shù)學(xué)中重要的定理，主要內(nèi)容是：在任一直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。定理及逆定理的應(yīng)用非常廣泛，定理的證明方法到目前為止大約有三百多種，其證明的原理大多運(yùn)用圖形的面積來證明，即設(shè)計(jì)合適的圖形并根據(jù)圖形的面積相等關(guān)系，得出直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。　　例如，早在公元3世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽就利用4個(gè)全等的直角三角形證明勾股定理，此圖被稱為“弦圖”，

6、如右圖。證明過程是：　　大正方形可以看作是邊為c正方形，其面積為c2；　　大正方形面積也可以由4個(gè)全等的直角三角形面積與中間小　　正方形面積和：即為?！　∷杂?，c2=，化簡(jiǎn)得：a2b2=c2，從而驗(yàn)證勾股定理?！　」垂啥ɡ淼尿?yàn)證過程實(shí)質(zhì)就構(gòu)造圖形驗(yàn)證數(shù)量關(guān)系相等，在勾股定理及其逆定理的應(yīng)用過程當(dāng)中，也常會(huì)運(yùn)用此思想，構(gòu)造出直角三角形，然后借助勾股定理解三角形，從而解決實(shí)際問題，都體現(xiàn)了為證明數(shù)量相等或求解某一個(gè)數(shù)時(shí)，先構(gòu)造圖形再尋求解決問題的方法?！　?“數(shù)形結(jié)合”珠聯(lián)璧合、相應(yīng)生輝　　在有些數(shù)學(xué)問

7、題中，不僅要用到由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密，還要考慮到由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到“形”的直觀，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解決問題?！　〕踔袛?shù)學(xué)中數(shù)軸和平面直角坐標(biāo)系無不體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的思想。數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，即任何一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上都找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)；相反，數(shù)軸上任何一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。同樣，平面內(nèi)的點(diǎn)與一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)?！　≡趫D形運(yùn)動(dòng)類問題更能體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的思想，例如，如圖1，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿折線B→C→D→A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為

8、x，△ABP的面積為y，如果關(guān)于x的函數(shù)y的圖像如圖2所示，求△ABC的面積。　　　　題中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)影響△ABP的面積的變化，由圖2可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度為4時(shí)，△ABP的面積將不再發(fā)生變化，所以BC=4，當(dāng)點(diǎn)P再運(yùn)動(dòng)5時(shí)，△ABP的面積將不斷減小，所以CD=5，當(dāng)點(diǎn)P第二次運(yùn)動(dòng)5時(shí)，此時(shí)△ABP的面積為0，所以AD=5，根據(jù)梯形性質(zhì)可以得出梯形的底邊為8，所以△ABC為16，故選B。本題中通過點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和三角形面積的變化求出圖形線段長(zhǎng)度，即“由形到數(shù)”，求出