初中數(shù)學(xué)“最值問(wèn)題”集錦

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1、WORD文檔可編輯LYR(2010-09-23)“最值問(wèn)題”集錦●平面幾何中的最值問(wèn)題…………………01●幾何的定值與最值………………………07●最短路線問(wèn)題……………………………14●對(duì)稱問(wèn)題…………………………………18●巧作“對(duì)稱點(diǎn)”妙解最值題……………22●數(shù)學(xué)最值題的常用解法…………………　26●求最值問(wèn)題………………………………　29●有理數(shù)的一題多解………………………　34●4道經(jīng)典題………………………………　37●平面幾何中的最值問(wèn)題在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問(wèn)題，有時(shí)它和不等

2、式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問(wèn)題．如果把最值問(wèn)題和生活中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，可以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)、最節(jié)約和最高效率．下面介紹幾個(gè)簡(jiǎn)例．在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題，稱為最值問(wèn)題。最值問(wèn)題的解決方法通常有兩種：（1）應(yīng)用幾何性質(zhì)：①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；②兩點(diǎn)間線段最短；③連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；④定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)。⑵運(yùn)用代數(shù)證法：①運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；②運(yùn)用

3、一元二次方程根的判別式。例1、A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)P，使PA+PB最小。技術(shù)資料專業(yè)分享WORD文檔可編輯分析：在直線L上任取一點(diǎn)P’，連結(jié)AP’，BP’，在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,則P’必在線段AB上，而線段AB與直線L無(wú)交點(diǎn)，所以這種思路錯(cuò)誤。取點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A’，則AP’＝AP，在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,當(dāng)P’移到A’B與直線L的交點(diǎn)處P點(diǎn)時(shí)A’P’+B’P’＝A’B，所以這時(shí)PA+PB最小。1已知AB是半圓的直徑，如果這個(gè)半圓

4、是一塊鐵皮，ABDC是內(nèi)接半圓的梯形，試問(wèn)怎樣剪這個(gè)梯形，才能使梯形ABDC的周長(zhǎng)最大(圖3－91)？分析本例是求半圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長(zhǎng)，可設(shè)半圓半徑為R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若設(shè)CD=2y，AC=x，那么只須求梯形ABDC的半周長(zhǎng)u=x+y+R的最大值即可．　　解作DE⊥AB于E，則　x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只須求-x2+2Rx+2R2最大值即可．-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有當(dāng)x=R時(shí)取等號(hào)，這時(shí)有所以　

5、　　　　2y=R=x．所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個(gè)頂點(diǎn)C，D，技術(shù)資料專業(yè)分享WORD文檔可編輯這時(shí)，梯形的底角恰為60°和120°．2.如圖3－92是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的周長(zhǎng)為8米(m)，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好？分析與解設(shè)x表示半圓半徑，y表示矩形邊長(zhǎng)AD，則必有???????2x+2y+πx=8，若窗戶的最大面積為S，則把①代入②有即當(dāng)窗戶周長(zhǎng)一定時(shí)，窗戶下部矩形寬恰為半徑時(shí)，窗戶面積最大．3.已知P點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)P在什么位置時(shí)，PA+PB最大(圖3－93)？分析

6、與解因?yàn)镻點(diǎn)是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P近于A或B時(shí)，顯然PA+PB漸小，在極限狀況(P與A重合時(shí))等于AB．因此，猜想P在半圓弧中點(diǎn)時(shí)，PA+PB取最大值．　　設(shè)P為半圓弧中點(diǎn)，連PB，PA，延長(zhǎng)AP到C，使PC=PA，連CB，則CB是切線．為了證PA+PB最大，我們?cè)诎雸A弧上另取一點(diǎn)P′，連P′A，P′B，延長(zhǎng)AP′到C′，使P′C′=BP′，連C′B，CC′，則∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，所以A，B，C′，C四點(diǎn)共圓，所以∠CC′A=∠CBA=90°，所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P

7、′A+P′B．技術(shù)資料專業(yè)分享WORD文檔可編輯4如圖3－94，在直角△ABC中，AD是斜邊上的高，M，N分別是△ABD，△ACD的內(nèi)心，直線MN交AB，AC于K，L．求證：S△ABC≥2S△AKL．　　證連結(jié)AM，BM，DM，AN，DN，CN．因?yàn)樵凇鰽BC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．因?yàn)镸，N分別是△ABD和△ACD的內(nèi)心，所以∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以　　△ADN∽△BDM，又因?yàn)椤螹DN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，所以　　　

8、　　∠BAD=∠MND．由于∠BAD=∠LCD，所以??∠MND=∠LCD，所以D，C，L，N四點(diǎn)共圓，所以∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因?yàn)椤鰽KM≌△ADM，所以　　　　　AK=AD=AL．而而從而所以S△ABC≥S△AKL．5.如圖3－95．已知在正三角形ABC內(nèi)(包括邊上)有兩點(diǎn)P，Q．求證：PQ≤AB．