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《初中數(shù)學“最值問題”集錦(一)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、“最值問題”集錦（一）●平面幾何中的最值問題…………………01●幾何的定值與最值………………………07●最短路線問題……………………………14●對稱問題…………………………………18●巧作“對稱點”妙解最值題……………22●平面幾何中的最值問題在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問題，有時它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問題．如果把最值問題和生活中的經(jīng)濟問題聯(lián)系起來，可以達到最經(jīng)濟、最節(jié)約和最高效率．下面介紹幾個簡例．在平面幾何問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的面
2、積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。最值問題的解決方法通常有兩種：（1）應用幾何性質(zhì)：①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；②兩點間線段最短；③連結(jié)直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；④定圓中的所有弦中，直徑最長。⑵運用代數(shù)證法：①運用配方法求二次三項式的最值；②運用一元二次方程根的判別式。例1、A、B兩點在直線l的同側(cè)，在直線L上取一點P，使PA+PB最小。分析：在直線L上任取一點P’，連結(jié)AP’，BP’，在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’
3、＝AB,則P’必在線段AB上，而線段AB與直線L無交點，所以這種思路錯誤。取點A關(guān)于直線L的對稱點A’，則AP’＝AP，25在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,當P’移到A’B與直線L的交點處P點時A’P’+B’P’＝A’B，所以這時PA+PB最小。1已知AB是半圓的直徑，如果這個半圓是一塊鐵皮，ABDC是內(nèi)接半圓的梯形，試問怎樣剪這個梯形，才能使梯形ABDC的周長最大(圖3－91)？分析本例是求半圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長，可設半圓半徑為R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若設CD=2y，AC=x，那
4、么只須求梯形ABDC的半周長u=x+y+R的最大值即可． 解作DE⊥AB于E，則 x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只須求-x2+2Rx+2R2最大值即可．-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有當x=R時取等號，這時有所以 2y=R=x．所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個頂點C，D，這時，梯形的底角恰為60°和120°．2.如圖3－92是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的周長為8米(m)，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好
5、？分析與解設x表示半圓半徑，y表示矩形邊長AD，則必有???????2x+2y+πx=8，若窗戶的最大面積為S，則25把①代入②有即當窗戶周長一定時，窗戶下部矩形寬恰為半徑時，窗戶面積最大．3.已知P點是半圓上一個動點，試問P在什么位置時，PA+PB最大(圖3－93)？分析與解因為P點是半圓上的動點，當P近于A或B時，顯然PA+PB漸小，在極限狀況(P與A重合時)等于AB．因此，猜想P在半圓弧中點時，PA+PB取最大值． 設P為半圓弧中點，連PB，PA，延長AP到C，使PC=PA，連CB，則CB是切線．為了
6、證PA+PB最大，我們在半圓弧上另取一點P′，連P′A，P′B，延長AP′到C′，使P′C′=BP′，連C′B，CC′，則∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，所以A，B，C′，C四點共圓，所以∠CC′A=∠CBA=90°，所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．4如圖3－94，在直角△ABC中，AD是斜邊上的高，M，N分別是△ABD，△ACD的內(nèi)心，直線MN交AB，AC于K，L．求證：S△ABC≥2S△AKL． 證連結(jié)AM，BM，DM，AN，DN，CN．因為在△ABC中，∠A
7、=90°，AD⊥BC于D，所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．25因為M，N分別是△ABD和△ACD的內(nèi)心，所以∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以 △ADN∽△BDM，又因為∠MDN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，所以 ∠BAD=∠MND．由于∠BAD=∠LCD，所以??∠MND=∠LCD，所以D，C，L，N四點共圓，所以∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因為△AKM≌△ADM，所以 AK=AD=AL．而而從而所以S△AB
8、C≥S△AKL．5.如圖3－95．已知在正三角形ABC內(nèi)(包括邊上)有兩點P，Q．求證：PQ≤AB． 證設過P，Q的直線與AB，AC分別交于P1，Q1，連結(jié)P1C，顯然，PQ≤P1Q1．因為∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一個直角或鈍角．若∠AQ1P1≥90°，則PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；若∠P1Q1C≥90°，則PQ≤P1Q1≤P1C．同理，∠AP
