數(shù)形結(jié)合思想淺析

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1、數(shù)形結(jié)合思想淺析數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想。所謂數(shù)形結(jié)合是將數(shù)學(xué)中抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與具體直觀的圖像結(jié)合起來，利用抽象思維與形象思維的有機結(jié)合，借助形的具體明確來反映數(shù)量之間的關(guān)系，借助數(shù)來具體描述形的本質(zhì)內(nèi)涵。它的實質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來，它包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面。用這種思想來解決數(shù)學(xué)問題往往可以使復(fù)雜的問題簡單化、抽象問題具體化。數(shù)形結(jié)合思想既能發(fā)揮代數(shù)的優(yōu)勢，又可以充分利用圖形的直觀性，從多個角度探索問題，對思維能力的提升大有益處?！　∥覈臄?shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非”，“數(shù)”與“形”反映

2、了事物兩個方面的屬性。我們認為數(shù)形結(jié)合主要指的是數(shù)與形之間一一對應(yīng)的關(guān)系?！　崿F(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖像的對應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義?！　∫粩?shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)點　　數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，運用數(shù)形結(jié)合的思想，可以解決以下問題：　　1．解決集合問題　　在集合運算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。　　2．解決函數(shù)問題　　借助于圖像研

3、究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法。函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法?！　?．解決方程與不等式的問題　　處理方程問題時，把方程的根的問題看做是兩個函數(shù)圖像的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路?！　?．解決三角函數(shù)問題　　有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖像來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法?！　?．解決線性規(guī)劃問題　　線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數(shù)的最值的問題。從圖形上找思路恰好體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用?！　?．解決數(shù)列問題　

4、　數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖像進行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決?！　?．解決解析幾何問題　　解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運用于對點、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中?！　?．解決立體幾何問題　　立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進行研究，可將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)運算。　　二用數(shù)形結(jié)合時應(yīng)注意的幾個問題　　“數(shù)形結(jié)合”直觀、形象，可避免繁雜的計算、證明等，獲得出奇制勝的解法。然而，它并不是“萬能”

5、的。圖形雖然直觀、形象，但它只是一個部分，而不是全部，甚至有些圖形是有誤差的，并不準確，所以我們不能以點代面，不能簡單地根據(jù)圖形獲取答案。就是要用到圖形，我們在作圖時或畫草圖時也要注意一些細節(jié)，不能馬虎應(yīng)付。用數(shù)形結(jié)合時要注意以下幾個主要事項：　　1．精確作圖，避免潦草作圖而導(dǎo)致的錯誤　　在同一坐標系中作幾個函數(shù)的圖像來比較時，我們一定要注意函數(shù)圖像的延伸趨勢及伸展“速度”。因為我們畫出的只是函數(shù)圖像的一小部分，而不是全部。常言道“知人知面不知心”，同樣的，我們從函數(shù)圖像的部分難知道它的全部，在沒畫出來的部分圖像是怎么樣的呢？我們只有根據(jù)函數(shù)圖像的延伸趨勢以及伸展“速度”來判斷了?！　?．

6、注意轉(zhuǎn)化過程要等價，避免定義域擴大或縮小　　定義域是一個變量的最大范圍，如果不注意轉(zhuǎn)化過程是否是等價的過程，那么變量的定義域就有可能擴大或縮小了，這樣，畫出來的圖像就會多出一部分或少了一角，而根據(jù)這樣有誤差的圖像，做出來的結(jié)果是不準確的，那就是白做了這道題，所以注意轉(zhuǎn)化過程要等價是關(guān)鍵的。不論是否注意到轉(zhuǎn)化過程要等價，我們最好能做好一道題，就再用另一種方法驗證一下所得到的答案是否準確，這樣才會有信心地保證做完一題就一定正確。　　3．注意仔細觀察圖像，避免漏掉了一些可能的情形　　有些問題可從圖像直接解得，但要經(jīng)過認真地分析，而有些問題很難由圖像直觀而得，值得注意。我們要仔細地觀察圖像，看看這

7、些圖像的位置關(guān)系是否都是合理的，是否漏掉了一些情況？我們只有做到不重不漏，才能保證所得到的答案是準確的。　　4．用數(shù)形結(jié)合解題尤其在證明問題時要避免邏輯循環(huán)　　“形”并不能作為證明的依據(jù)，遇到證明題時，在幾何直觀分析的同時，還要進行代數(shù)抽象的探索，并用嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言寫出證明過程的理論依據(jù)，這樣才算做好證明題。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合時，“形”只是一種手段，一個工具，而不是理論依據(jù)。不論是怎樣的題目，“形”只是我們思考問題的一種方式，