資源描述：
《立體幾何二面角問題的公式解法探究》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學術(shù)論文-天天文庫。
1、立體幾何二面角問題的公式解法探宄［摘要］立體幾何的二面角問題一直都是高中數(shù)學教學和考試的重點和難點，試題的解法具有獨特性、針對性.一種求二面角的方法一一公式法，在所有涉及三面角的題目中，能用上此種方法的題占80%以上.［關(guān)鍵詞］立體幾何二面角公式法［中圖分類號］G633.6［文獻標識碼］A［文章編號］16746058(2015)110001立體幾何中的二面角問題是高考的熱點，自然是高考復習的重點，這類題的常規(guī)解法有兩種：定義法和向量法.本文試圖再添一法公式法.一、公式法的應(yīng)用為行文方便，約定:三棱錐的一個側(cè)面三角形中，頂點與棱錐的頂點公共的角稱為這個側(cè)面的頂點有
2、兩個側(cè)面互相垂直的三棱錐稱為直側(cè)面三棱錐；互相垂直的兩個側(cè)面稱為直側(cè)面；與兩個直側(cè)面都斜交的另一側(cè)面稱為斜側(cè)面.1如圖1，三棱錐O-ABC中，AB丄OA，AC丄OA，ZBAC是二面角B—OA—C的平面角，記為a.棱OA所對的頂點角ZBOC記為e，與OA相鄰的頂點角ZBOA和ZCOA分別為01和02.設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，AB=m，AC=n.在AABC和ABOC中，利用余弦定理有m2+n2-2mncosa=BC2=b2+c2-2bccos9-2mncosa=b2-m2-n2+c2-2bccose=a2+a2-2bccosGcosa=bccos0-a2mn
3、=cos0-ab?acmb?nc.（ab=cos0l,ac=cos02，mb=sin01,nc=sin02）結(jié)果求得二面角大小的一般式公式：cosct=cos0-cos9lcos92sin0lsin02.圖2又如圖2，三棱錐M—NPQ中，側(cè)面MPN丄側(cè)面MPCbQP丄MP，PN丄MN，則根據(jù)三垂線定理知ZPNQ是二面角P-MN-Q的平面角，記為c[.棱MN所對的直側(cè)面的頂點角記為e，與棱MN相鄰的另一直側(cè)面的頂點角記為01，斜側(cè)面的頂點角記為02.VZMNP=ZMNQ=ZMPQ=ZNPQ=90°,/?tana=PQNP=MP?tan0MP?sin01，得公式（一
4、）tana=tan0sin01；sina=PQNQ=MQ?sin0MQ?sin02,得公式（二）sina=sin0sin02；cosa=NPNQ=MN?tan0lMN?tanG2,得公式（三）cosa=tan0ltan02.公式（一）（二）（三）統(tǒng)稱為求二面角大小的直面式公式.IJ把一個二面角看成一個三棱錐的兩個側(cè)面組成的用這個三棱錐的三個或其中的兩個側(cè)面的頂點角來計算這個二面角的大小是本文公式的本質(zhì)特征.這個三棱錐稱為這個二面角的相關(guān)三棱錐.筆者查看近五年全國各省高考數(shù)學試題發(fā)現(xiàn)，在所有涉及二面角的題目中，能用上直面式公式的題占80%以上，其中能用上公式(一)
5、的最多.下面以歷年高考真題為例來說明本公式的應(yīng)用.3【例1】(2014?浙江?20，15分)如圖3,在四棱錐A—BCDE中，平面ABC丄平面BCDE，ZCDE=ZBED=90°,AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2.(I)證明：DE丄平面ACD;(II)求二面角B-AD-E的大小.解：(I)在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，DC=2，得BD=BC=2，又AC=2,AB=2,得AC2+BC2=AB2,即得AC丄BC.又平面ABC丄平面BCDE,/.AC丄平面BCDE.???AC丄DE.又DE丄DC，ACADC=C,，.DE丄平面ACD.(II)分析：觀察
6、三棱錐D—ABE，易知棱DA所對的ZEDB=45°，由已知DE=BE，DE丄BE，與棱DA相鄰的ZEDA=90由（I）矢口ED丄平面ACD，/.EDIDA，與DA相鄰的另一個ZBDA所在的AABD是直角三角形，這可從三邊長BD、DA、AB檢驗勾股定理得到，也可由（I）知DB丄BC，DB丄AC，得DB丄平面ABC，/.DB丄AB.AABD的三邊長易得，相關(guān)的三個角的正、余弦值可寫，從而思路打通.解:（II）以D為頂點，設(shè)ZEDB=e,*/DE丄EB,DE=EB,/.0=45°.設(shè)ZEDA=Q1，YED丄平面ACD，...ED丄AD，01=90°.設(shè)ZBDA二02，
7、由(I)矢口AC丄DC，???AD=DC2+AC2=6，???BD2+AB2=AD2，即BD丄AB，Acos02=DBAD=13,/.sin02=23.設(shè)所求的二面角為a，代入公式，得coscl=cos0-cos0lcos02sinlsin02=22-01X23=32.???a=n6，故二面角B-AD-E的大小為n6.4【例2】(2012?全國新課標?19，12分)如圖4,直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=12AA1，D是棱柱AA1的中點，DC1丄BD.(I)證明：DC1丄BC;(II)求二面角A1-BD-C1的大小.解：（I）證明：由題設(shè)知，直棱柱的
8、側(cè)面為矩形.設(shè)AC=BC
