七橋問題與一筆畫63790

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1、七橋問題一筆畫哥尼斯堡七橋猜想這個問題初看起來似乎不太難,所以很多人都想試一試,尋找這種走法,但誰出找不出問題的答案,均以失敗告終。當時大數(shù)學家毆拉從眾多人的失敗中想到,這樣的走法可能就根本不存在,隨后他用數(shù)學的方法證實了自己的猜想是正確的,并于1736年發(fā)表了圖論(組合數(shù)學的一個分支)的第一篇論文“哥尼斯堡的七座橋”。哥尼斯堡七橋問題故事發(fā)生在18世紀歐洲東普魯士(現(xiàn)為俄羅斯的加里寧格勒)有個名叫哥尼斯堡的城市近郊。這里的普雷蓋爾河穿城而過,河中有兩個島,兩岸與兩島之間架有七座橋(如圖)。當時城中居民熱烈地

2、討論著這樣一個問題:一個散步者怎樣走才能不重復地走遍所有的七座橋而回到原出發(fā)點?歐拉首先考慮到,由于關心的是能否不重復地走完七座橋而對于橋的長短,島的大小等因素都不重要,因此可進行簡化假設,不考慮陸地的地形,不考慮橋的形狀及長短,把四塊陸地用4個點A、B、C、D來表示,七座橋用相應的點之間的連線(曲線段或直線段)表示。問題轉換成從某個點出發(fā)能否不重復地把圖形一筆畫出來。這樣便簡化了原問題而突出了問題實質。七橋問題就抽象成通常所說的一筆畫問題,即下筆后再不能離開紙,每一條不能重復,只畫一次,畫時任兩條線允許交叉

3、而過。十八世紀,東普魯士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市,普萊格爾河橫貫城區(qū),使這座城市錦上添花,顯得更加風光旖旋。這條河有兩條支流,在城中心匯成大河,在河的中央有一座美麗的小島。河上有七座各具特色的橋把島和河岸連接起來。18世紀時風景秀麗的小城哥尼斯堡中有一條河,河的中間有兩個小島,河的兩岸與兩島之間共建有七座橋(如圖),當時小城的居民中流傳著一道難題:一個人怎樣才能不重復地走過所有七座橋,再回到出發(fā)點?問題情景這就是數(shù)學史上著名的七橋問題,你愿意試一試嗎?每一個到此游玩或散心的人都想試一試,可是,對于這

4、一看似簡單的問題,沒有一個人能符合要求地從七座橋上走一遍。這個問題后來竟變得神乎其神,說是有一支隊伍,奉命要炸毀這七座橋,并且命令要他們按照七橋問題的要求去炸。七橋問題也困擾著哥尼斯堡大學的學生們,在屢遭失敗之后,他們給當時著名數(shù)學家歐拉寫了一封信,請他幫助解決這個問題。歐拉在數(shù)學上的建樹很多,對著名的哥尼斯堡七橋問題的解答開創(chuàng)了圖論的研究。用多種方法證明了費馬小定理。以歐拉的名字命名的數(shù)學公式、定理等在數(shù)學書籍中隨處可見,與此同時,他還在物理、天文、建筑以至音樂、哲學方面取得了輝煌的成就。歐拉還創(chuàng)設了許多數(shù)

5、學符號,例如π(1736年),e(1748年),sin和cos(1748年),△x(1755年),f(x)(1734年)等等。數(shù)學家歐拉知道了七橋問題他用四個點A、B、C、D分別表示小島和岸,用七條線段表示七座橋(如圖)于是問題就成為如何“一筆畫”出圖中的圖形?●點A、B表示島點C。D表示岸▎線表示橋問題分析ACDB①有奇數(shù)條邊相連的點叫奇點。如:③一筆畫指:1、下筆后筆尖不能離開紙。2、每條線都只能畫一次而不能重復。問題分析問題的答案如何呢?讓我們先來了解三個新概念?!瘛瘛瘼谟信紨?shù)條邊相連的點叫偶點。如:●

6、●●活動探究下列圖形中。請找出每個圖的奇點個數(shù),偶點個數(shù)。試一試哪些可以一筆畫出,請?zhí)畋?,從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?奇點個數(shù)偶點個數(shù)能否一筆畫圖⑴圖⑵圖⑶圖⑷●●ABABCDE●●●●●●A●②若奇點個數(shù)為2,可選其中一個奇點做起點,而終點一定是另一個奇點,即一筆畫后不可以回到出發(fā)點??偨Y規(guī)律①可以一筆畫成的圖形,與偶點個數(shù)無關,與奇點個數(shù)有關。也就是說,凡是圖形中沒有奇點的(奇點個數(shù)為0),可選任一個點做起點,且一筆畫后可以回到出發(fā)點。③凡是圖形中有2個以上奇點的,不能完成一筆畫。用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,說一說七橋問題

7、的答案?由于七橋問題中的四個點都是奇點,因此可以判斷它是無法一筆畫出來的,也就是說根本不存在能不重復走遍七座橋的路線!課堂練習1、一輛灑水車要給某城市的街道灑水,街道地圖如下:你能否設計一條灑水車灑水的路線,使灑水車不重復地走過所有的街道,再回到出發(fā)點?菜市場小廣場文具店超市電器城服裝城2、下圖是一個公園的平面圖,能不能使游人走遍每一條路不重復?入口和出口又應設在哪兒?課堂練習BACDEFG●●●●●●●課堂練習3、甲乙兩個郵遞員去送信,兩人同時出發(fā)以同樣的速度走遍所有的街道,甲從A點出發(fā),乙從B點出發(fā),最后

8、都回到郵局(C點)。如果要選擇最短的線路,誰先回到郵局?操作體驗下列圖形能不能用一筆畫出來?對于圖形的結構作些分析可以看出,除去起點或終點外,凡途徑的點都應有進有出,即連接點的曲線必須是偶數(shù)條,我們可以把這類型的點叫偶點,因為只有起點或終點才可能有進無出或有出無進,這時可能有奇數(shù)條曲線與這樣的點連接,這樣的點叫做奇點,這說明,要想一筆不重復地畫出圖形,奇點的個數(shù)要么0個,要么2個,而在圖中4個點都是

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