系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

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1、第三講1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性1.4時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述----線性常系數(shù)差分方程要點(diǎn)LSI系統(tǒng)因果穩(wěn)定性定義及判斷方法時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述及求解方法線性常系數(shù)差分方程、初始條件與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果系統(tǒng)(causalitysystem)若系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出，只取決于n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入序列，而與n時(shí)刻以后的輸入無(wú)關(guān)，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：滿足上式的序列稱為因果序列，因此因果系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)必然是因果序列。因果性系統(tǒng)的條件從

2、概念上也容易理解，因?yàn)閱挝蝗禹憫?yīng)是輸入為δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)，在n=0時(shí)刻以前即n<0時(shí)，沒有加入信號(hào)，輸出只能等于零，注：關(guān)于此條件的嚴(yán)格證明可參考程佩青《數(shù)字信號(hào)處理教程〉1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性如果n時(shí)刻的輸出還取決于n時(shí)刻以后的輸入序列，在時(shí)間上違背了因果性，系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)，則系統(tǒng)被稱為非因果系統(tǒng)。因此系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。非因果模擬系統(tǒng)是不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。非因果數(shù)字系統(tǒng)是可以近似實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性一個(gè)非因果數(shù)字系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性實(shí)際系統(tǒng)一般是

3、因果系統(tǒng)對(duì)圖象、已記錄數(shù)據(jù)處理以及做平滑處理的系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)在判斷時(shí)必須把輸入信號(hào)的影響與系統(tǒng)中定義的其他函數(shù)區(qū)分開來(lái)，如y(n)=x(n)sin(n+2)是因果系統(tǒng)在判斷時(shí)必須考慮全部時(shí)間變量如y(n)=x(n-k)是有條件因果系統(tǒng)1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)(stabilitysystem)穩(wěn)定系統(tǒng)是有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述：若LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：則LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件證明先證明充分性。即若h(n)滿足絕對(duì)可和條件,則輸入有界輸出必有界。因?yàn)檩斎胄蛄衳(n)有界，

4、即

5、x(n)

6、

7、a

8、<1時(shí)例：某LSI系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為試討論其是否是因果的、穩(wěn)定的。有條件穩(wěn)定例1.3.7設(shè)系統(tǒng)的)單位取樣響應(yīng)h(n)=u(n)，求對(duì)于任意輸入序列x(n)的輸出y

9、(n)，并檢驗(yàn)系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。y(n)=x(n)*h(n)=因?yàn)楫?dāng)n-k<0時(shí)，u(n-k)=0；n-k≥0時(shí)，u(n-k)=1，因此，求和限為k≤n，所以(1.3.15)分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性：?jiǎn)挝蝗禹憫?yīng)h(n)=u(n)代表的系統(tǒng)為因果非穩(wěn)定系統(tǒng)1.4時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述----線性常系數(shù)差分方程描述一個(gè)系統(tǒng)，可以不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何，將系統(tǒng)看成一個(gè)黑盒子，只描述或者研究系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系，這種方法稱為輸入輸出描述法。對(duì)于模擬系統(tǒng)，我們知道由微分方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間的關(guān)系。對(duì)于時(shí)域離

10、散系統(tǒng)，則用差分方程描述或研究輸出輸入之間的關(guān)系?！るx散時(shí)間系統(tǒng)T[·]x(n)y(n)一、系統(tǒng)的時(shí)域描述（1）單位沖擊響應(yīng)h(n)（2）差分方程求解條件：N個(gè)初始值和M各輸入序列二、常系數(shù)線性差分方程一個(gè)N階常系數(shù)線性差分方程表示為：其中：*差分方程的階數(shù)：y(n)變量n的最大序號(hào)與最小序號(hào)之差，如N=N-0.線性：y(n-k),x(n-m)各項(xiàng)只有一次冪,不含它們的乘積項(xiàng)。求解常系數(shù)線性差分方程的方法：1）經(jīng)典解法2）遞推解法3）變換域方法對(duì)于同一個(gè)差分方程和同一個(gè)輸入信號(hào)，因?yàn)槌跏紬l件不同，得到的輸出信號(hào)

11、是不相同的。對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，用遞推解法求解，總是由初始條件向n>0的方向遞推，是一個(gè)因果解。但對(duì)于差分方程，其本身也可以向n<0的方向遞推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能確定該系統(tǒng)是否是線性時(shí)不變因果穩(wěn)定，還需要用初始條件進(jìn)行限制。差分方程與系統(tǒng)的關(guān)系例1：已知常系數(shù)線性差分方程（1）若邊界條件求其單位抽樣響應(yīng)。（2）若邊界條件求其單位抽樣響應(yīng)，并判斷是否為線性時(shí)不變系統(tǒng)。對(duì)應(yīng)一個(gè)因果系統(tǒng)判斷是否為線性時(shí)不變系統(tǒng)1.一個(gè)常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)。這些都由邊界條

12、件（初始）所決定。2.我們以后討論的系統(tǒng)都假定：常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且多數(shù)代表因果系統(tǒng)。注意：作業(yè)1-4；1-5（1）（3）（5）（7）1-6（1）（3）（5）；1-71-8下一講內(nèi)容及要點(diǎn)要點(diǎn)：抽樣過(guò)程如何實(shí)現(xiàn)，時(shí)域如何描述？頻域如何描述？奈奎斯特抽樣定理的意義?由時(shí)域離散信號(hào)恢復(fù)模擬信號(hào)的過(guò)程稱為內(nèi)插恢復(fù)過(guò)程，該過(guò)程如何實(shí)現(xiàn)，時(shí)域如何描述？頻域如何描述？解：1.