基于有限差分法的微分方程離散化求解.pdf

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1、基于有限差分法的微分方程離散化求解◆白紅杰白陽(yáng)椿韓自源(四川警察學(xué)院)【摘要】目前偏微分方程數(shù)值求解的方法主要有兩種，即有限差分是用它來逼近一階導(dǎo)數(shù)。法和有限元方法。本文論述了基于有限差分法的微分方程求解，離2．2二階偏導(dǎo)數(shù)的差分逼近散化過程，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了分析。在滲流微分方程中，除含有求知函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)外，還含有【關(guān)鍵詞】有限差分法離散化數(shù)值模擬未知函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。二階偏導(dǎo)數(shù)擴(kuò)“／良。相當(dāng)于對(duì)函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)afalf脅)／既。1．前言在x軸上取三點(diǎn)：X—Ax、x、x+AX，如圖1所示。令Oul~x：F有限差分法是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用比較成熟的方法，該磐．．；方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，

2、用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求x一△—一ix+解域，是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)。竺2概念直觀，表述簡(jiǎn)單。有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量圖1二階差商處理方法示意法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在將aF，缸在點(diǎn)X處展開為中心差商每個(gè)單元內(nèi)必改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值冬一函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方—(5)程離散求解。再將缸／覷zF分別在x—Ax／2，x+Ax／2處展成一階中心差用有限差分法求解偏微分方程必須把連續(xù)問題進(jìn)行離散化，商，得F一l一一為此首先要對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行離散化。構(gòu)造離散網(wǎng)格系統(tǒng)的目的

3、在{—一-_—凸_(6)于將表現(xiàn)為非均系統(tǒng)的大尺度用若干可以近似為均勻系統(tǒng)的尺度}～也一i(如網(wǎng)格)表征。構(gòu)造差分形式就是對(duì)參數(shù)在一定的離散點(diǎn)中心網(wǎng)一格或塊中心網(wǎng)格上離散。其中，離散網(wǎng)格可以是空間離散網(wǎng)格，也x專一：==(7)可以是時(shí)間離散網(wǎng)格(即離散時(shí)間步長(zhǎng))。平面網(wǎng)格的形式是多種將式(6)、(7)代入(5)得多樣的，如矩形網(wǎng)格、柱形網(wǎng)格、多邊形網(wǎng)格等?？臻g離散網(wǎng)格是和?壘二一二壟一，、～、邊界條件相關(guān)聯(lián)的，一般來說，對(duì)于第一類邊界條件采用點(diǎn)中心網(wǎng)盤盤一。(8)格較方便，第二、三類邊界條件采用塊中心網(wǎng)格比較合適。式(8)即是以二階差商來代替二階偏導(dǎo)數(shù)的公式，這種形成的2．微分方程的離散化．差

4、商稱為二階中心差商。2．1一階偏導(dǎo)數(shù)的差商逼近2．3拋物型方程的離散化方法設(shè)有函數(shù)u(x，Y，t)，對(duì)其自變量X的偏導(dǎo)數(shù)可以表示成函數(shù)在各類低滲透介質(zhì)滲流問題中，大多屬于不穩(wěn)定滲流，描述這的差商的極限形式類滲流問題的數(shù)學(xué)方程不僅含有未知量對(duì)空間坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，而t)：lira—u(x+A％y~t)-u(x,y,t)且含有各變量對(duì)時(shí)間坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。這類方程在數(shù)學(xué)上屬拋物型—，，盤‘△x(1)方程。對(duì)這類問題求解時(shí)，不僅要求出各變量在空間的分布狀態(tài)，在(1)式中，當(dāng)自變量增量充分小時(shí)，如果能用比較簡(jiǎn)單的函數(shù)而且還要求出這種分布在時(shí)間區(qū)域上的變化情況。對(duì)數(shù)值解法來差商來代替偏導(dǎo)數(shù)，即說，就是要求出各變

5、量在不同時(shí)刻在各空間點(diǎn)上的數(shù)值分布。8uu(x+Ax，Y，t)一“(，)’，f)因?yàn)檫@類方程所描述的是不穩(wěn)定滲流過程，所以方程中的各～瓦————一(2)個(gè)變量都是隨時(shí)間而變的，而空間差分項(xiàng)本身并沒有指明它應(yīng)該這樣就可以把偏微分方程用差分方程代替，從而把難于求解在什么時(shí)間點(diǎn)上取值，因此對(duì)應(yīng)于不同的時(shí)間取值方法就可以得的偏微分方程化成代數(shù)方程組。利用Taylor級(jí)數(shù)可以說用(2)形到不同形式的差分方程。更主要的是，由于求解這類問題時(shí)得到的式的差商來逼近一階偏聽偏信導(dǎo)數(shù)，其誤差對(duì)AX來說是一階的。是一系列時(shí)間點(diǎn)上的參數(shù)分布，后一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的結(jié)果依賴于前式(2)是用前差商來代替一階偏導(dǎo)數(shù)即一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的

6、結(jié)果，這就產(chǎn)生了求解誤差在時(shí)間坐標(biāo)上的傳播與Ouu(x,y,t)-u(x-A~,y,t)變化的問題，即所謂的解的穩(wěn)定性問題?！?3)取最簡(jiǎn)單的一維方程進(jìn)行討論：同理，后差商也可以用來代替一階偏導(dǎo)數(shù)，且其誤差也為0：o≤fo(Ax)。類似地，還可以用中心差商(9)x+等，卜卜等0其初始條件為u(x，O)=)———————一(4)邊界條件為，f)：(f)來代替偏導(dǎo)數(shù)Ou／Ox。經(jīng)證明，用中心差商代替一階偏導(dǎo)數(shù)，其，O=uz∞誤差為O(Ax2)。這就意味著用中心差商來逼近偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)Ax非式(9)左端是對(duì)空間坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，右端是對(duì)時(shí)間坐標(biāo)的偏導(dǎo)常小時(shí)，是一種比前兩種差商逼近更為精確的方法。但是

7、，在具體數(shù)。為了對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)離散化，取時(shí)間坐標(biāo)上兩個(gè)時(shí)刻的步長(zhǎng)為求解一個(gè)微分方程時(shí)，不僅要考慮差商對(duì)導(dǎo)數(shù)的逼近精度，更主要At。對(duì)方程(9)的右端以任意時(shí)刻t“的后差商進(jìn)行近似，在任意點(diǎn)的是把差分方程作為一個(gè)整體考慮。因此，油藏?cái)?shù)值模擬中也不總xj得到165萬方數(shù)據(jù)配一2+一任何誤差不在以后的進(jìn)一步計(jì)算中被擴(kuò)大。因?yàn)橐坏┻@種誤差能一一廣一一—(10)被不斷擴(kuò)大而成為越來越大的誤差，必然使所得的結(jié)