有限差分法求解薛定諤方程宮建平pdf

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1、第31卷第3期晉中學(xué)院學(xué)報(bào)Vol.31No.32014年6月JournalofJinzhongUniversityJun.2014有限差分法求解薛定諤方程宮建平（晉中學(xué)院信息技術(shù)與工程學(xué)院，山西晉中030600）摘要：量子力學(xué)中大多數(shù)量子體系的哈密頓算符都比較復(fù)雜,所以人們提出了用有限差分法求解薛定諤方程的本征值問題,但有限差分法得到的解并非都是給定勢函數(shù)下束縛態(tài)的解,本文討論了有限差分法所有解中滿足屬于給定勢函數(shù)下束縛態(tài)解的條件。關(guān)鍵詞：有限差分法；本征值；波函數(shù)中圖分類號(hào)：O413.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1673-1808（2014）03-0001-060引言在

2、量子力學(xué)中,對(duì)于一些簡單的量子體系,如一維無限深勢阱、線性諧振子、氫原子等體系的薛定諤方程可以嚴(yán)格求解,得到描述體系的精確的狀態(tài)波函數(shù)和能量.但大多數(shù)量子體系的哈密頓算符都比較復(fù)雜,薛定諤方程一般得不到精確的解析解，有時(shí)能級(jí)可以給出解析表達(dá)式，但卻無法得到波函數(shù)的解析表達(dá)式.因此,研究和發(fā)展薛定諤方程的計(jì)算方法就具有重要的意義.由于有限差分法可以處理在幾乎所有形式的勢能函數(shù)中運(yùn)動(dòng)的粒子,并且因?yàn)橛?jì)算主程序并不依賴于勢能函數(shù)的具體形式，因此可以進(jìn)行相對(duì)精確的計(jì)算,對(duì)于確定量子體系的束縛態(tài)能級(jí)和相應(yīng)的波函數(shù)是一種非常有效的計(jì)算方法.近年來人們對(duì)有限差分法求解本征值問題進(jìn)行了

3、研究[1~2],但由于有限差分法求解的邊界條件是假設(shè)計(jì)算區(qū)間的端點(diǎn)的波函數(shù)為零,這相當(dāng)于在區(qū)間端點(diǎn)加上一無窮高的勢壘,所以解總是存在的,但這里給出的解并不一定是原來給定勢下的束縛態(tài)的解.本文對(duì)這一問題進(jìn)行詳細(xì)的討論.1束縛態(tài)薛定諤方程的有限差分算法根據(jù)有限差分法中的二階微分中心差分算符可以將一維薛定諤方程寫作-Rψm-1+αmψm-Rψm+1=Eψm.（1）2其中R=攸，αm=2R+V(xm)，（2）22μ(△x)當(dāng)取m=0，1，2，3，…，M.并且注意到滿足條件ψ0=ψM=0，則由（1）式得到一系列線性方程式，這樣將本征值方程離散化為矩陣方程Sψ=Eψ.（3）!α-R

4、00…000$!ψ$11"%"%"-Rα2-R0…000%"ψ2%其中S="0-Rα-R…000%"ψ%（4）"%"%3，ψ=3………………………"%"%"0000…-RαM-2%"%"-R%"ψM-2%"0000…0-Rα%"ψ%#M-1&#M-1&［收稿日期］2014-02-179/9［作者簡介］宮建平（1958-），男，山西榆次人，晉中學(xué)院信息技術(shù)與工程學(xué)院，教授，研究方向：凝聚態(tài)物理.9/9·1·9/9宮建平有限差分法求解薛定諤方程我們將相對(duì)復(fù)雜的方程就轉(zhuǎn)化為矩陣S的對(duì)角化問題,利用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算可以容易將矩陣S的本征值和本征函數(shù)同時(shí)求出.我們以線性諧振子為例討

5、論,線性諧振子的能量本征值方程為222（5）攸dψμω22+2E-x2ψ=0.2μdx2為方便起見，引入無量綱變量ξ代替x，它們的關(guān)系是（6）ξ≡μωx≡αx，α=μω姨攸姨攸并令λ=2E（7）攸ω薛定諤方程可改寫為下面無量綱的形式2-dψ+2ψ=λψ（8）ξ2dξ令,ψm=ψm(ξm)，ξm=ɑ+m△ξ，1≤m≤M，邊界條件寫成ξ→∞，ψ(ξ)→0（9）實(shí)際上取ψ0=ψM=0（8）式得到一系列線性方程式-+22==0，1，2，…，.（10）11+ξm2λψm2ψm-122ψm-2ψm+1mM(△ξ)(△ξ)(△ξ)其中R=1，α2+ξ2，λ=2E.利用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算容

6、易求出（10）的本征值與相應(yīng)的波函數(shù).=2m2m攸ω(△ξ)(△ξ)2計(jì)算間隔的選擇與波函數(shù)的歸一化在（10）式的計(jì)算中計(jì)算間隔直接影響本征值精度，并且發(fā)現(xiàn)計(jì)算間隔不同時(shí)所得的波函數(shù)曲線也會(huì)發(fā)生變化.圖1是在區(qū)間≤-5，≤內(nèi)計(jì)算間隔分別取0.1，0.01，.005時(shí)的波函數(shù)曲線，相應(yīng)的能量本征值分別為0.4997攸ω，0.5000攸ω,0.5000攸ω.如果要求精度精確到0.0001攸ω，那么計(jì)算間隔取作0.01應(yīng)該能夠達(dá)到要求，因?yàn)樵谒蟮木葍?nèi)，再減小計(jì)算間隔已經(jīng)不再影響能量本征值的大小.在圖1中我們用點(diǎn)劃線、虛線和點(diǎn)線繪制計(jì)算間隔為0.1、0.01和0.05時(shí)的

7、波函數(shù)曲線，但是從波函數(shù)曲線看，當(dāng)計(jì)算間隔減小時(shí)它的形狀仍然隨著計(jì)算點(diǎn)數(shù)的增加而變化，峰圖1計(jì)算間隔分別取0.1、0.01和0.005值逐漸減小.時(shí)分別用點(diǎn)劃線、虛線和點(diǎn)線繪制未歸一波函數(shù)隨著計(jì)算點(diǎn)數(shù)的變化而變化，這種不確定性可通化的波函數(shù)曲線,用實(shí)線繪制的歸一化波函過波函數(shù)的歸一化解決，歸一化系數(shù)可以利用數(shù)值積分求得.數(shù)曲線，歸一化波函數(shù)的曲線重合在一起.當(dāng)然數(shù)值積分不可能像解析解一樣積分區(qū)間取為(-∞，∞)，但因?yàn)樵谟?jì)算區(qū)間之外波函數(shù)全為零，所以積分區(qū)域可以選擇為(x0，xM).經(jīng)過歸一化后的波函數(shù)相當(dāng)于在解析解中確定了歸一化常數(shù)，波