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《四階龍格庫塔實(shí)驗(yàn)報告》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、三、四階Runge-Kutta法求解常微分方程一、龍格庫塔法的思想根據(jù)第九章的知識可知道,Euler?方法的局部截斷誤差是0(/72),而當(dāng)用Euler方法估計(jì)出(D再用梯形公式x,+i=凡+魯[7K，x,)+/('+1，);+1)]⑵進(jìn)行校正，即釆用改進(jìn)Euler方法得出數(shù)值解的截斷誤差為0(/?)。由Lagrange微分中值定理y(^+i)=X^)+y(《)U,l+l=)+￥(^>?))⑶記F=/?/?，y(0)，得到+(4)這樣只要給出一種計(jì)算F的算法，就能得到相應(yīng)的計(jì)算公式。用這種觀點(diǎn)的來分析Euler方法和改進(jìn)Euler方法，Euler方
2、法的迭代公式可改寫為k'=hf(xn,yn)改進(jìn)Euler方法的預(yù)報-校正公式可改寫為k'=hf(xn,ynk2=hf(xn+h,yn+k,)Euler方法實(shí)際上是用一個點(diǎn)處的值勾近似F，而改進(jìn)Euler方法是用兩個點(diǎn)處的值和么，做算術(shù)平均值近似rCJ然改進(jìn)Euler方法要優(yōu)于Euler方法。因此，可以想到假如在內(nèi)多預(yù)報幾個點(diǎn)值么，并用他們的加權(quán)平均值作為的近似值，則冇可能構(gòu)造出具冇更高精度的計(jì)算公式，這就是Runge-Kutta法的基本思想。二、叫階龍格庫塔法由Runge-Kutta的基本思想，構(gòu)造四階Runge-Kutta法是利用和々4的加權(quán)
3、平均值來近似F,因此令>；+i=X,+叫久+%尺2+w,K3+w4K4K'=hf(xn，y”)4、會(^+2^+2/C3+/Q6^=hf(xH,yn)h1，K2=hf(xt^-9y^-KJ(6)h1K3=hf(xrl+-,yn-{--K2)K4=hf(x?+h，yri+K3)也稱為稱準(zhǔn)四階Runge-Kutta法。三、四階龍格庫塔法程序說明及應(yīng)用3.1龍格庫塔的計(jì)算程序function[x,y]=Runge(ydot_fun/xO,yO,h,N)x=zeros(1,N+l)；y=zeros(length(yO),N+1)；x(l)=xO；y(:,1)=yO；forn=l:Nx(n+l)=x(n)+h；kl=h*feval(ydot_fun,x
5、(n),y(:,n));k2=h*feval(ydot_fun,x(n)+l/2*h,y(:,n)+l/2*kl);k3=h*feval(ydot_fun,x(n)+l/2*h,y(:,n)+l/2*k2);k4=h*feval(ydot_fun,x(n)+h,y(：,n)+k3)；y(:,n+l)=y(:,n)+l/6*(kl+2*k2+2*k3+k4);end3.2程序解釋及使用該算法町以對一階微分方程，一階微分方程組進(jìn)行冇效的求解。ydot.fun為一階微分方程的函數(shù)，xO為初始點(diǎn)，yO為初始向量，h為步長，N為區(qū)間的等分?jǐn)?shù)，x為Xn構(gòu)成的向
6、量，y為Yn構(gòu)成的矩陣。程序調(diào)用方法：1，先編寫要求解的一階微分方程或方程組的函數(shù)文件ydot_fUn.m文件，將該文件和Runge文件放到MJ—個目錄下。2.調(diào)用求解程序，[x,y]=Runge(@dot_fun,xO,yO,h,N),運(yùn)行AS?即可得出結(jié)來?；蛘哂脙?nèi)部函數(shù)調(diào)用：輸入：ydot_fun=(x,y)[][x，y]=Runge(ydot一fun，xO，yO，h,N)3.3實(shí)例求解課本304頁9.2題目:用標(biāo)準(zhǔn)4級4階R-K法求解JMl，，曾y=y+y-y+2x-3’b(0)=-l，y⑼=3，/(0)=2’取步Kh=0.1,計(jì)算y(l)
7、的近似值，并與解析解y(x)=i+2x-l作比較。解：首先將三階方程改寫成微分方程組的形式：令My=y2得如下微分方程組乂=y2<義二乃十乃一乂+2義一3J(0)=-l，y2(0)=3，y3"⑼=2在ydot_fim.ni文件屮編寫待求解微分方程組，調(diào)用計(jì)算程序，保留5位小數(shù)得：表3-1三階微分方程求解結(jié)果X00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0-1.00000-0.68948-0.355720.004960.396730.824361.293271.809622.380423.013633.718273.000003.21
8、5693.465683.754814.088554.473084.915385.423376.005966.673237.
