就得到四階龍格庫塔法.ppt

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1、第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與仿真算法數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中有著相當(dāng)重要的地位，也是計(jì)算機(jī)仿真的基礎(chǔ)。2.12.1.1、系統(tǒng)的分類連續(xù)系統(tǒng)：系統(tǒng)中的變量（物理量）隨時(shí)間連續(xù)變化。離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中的變量（物理量）隨時(shí)間斷續(xù)變化。如計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。我們所討論的系統(tǒng)主要以線性定常連續(xù)系統(tǒng)為主。線性系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性。1.微分方程建立的一般步驟采用解析法來建立系統(tǒng)或元部件的微分方程所遵循的一般步驟是：（1）確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量。（2）根據(jù)物理和化學(xué)定律（比如：牛頓運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系統(tǒng)或

2、元部件的原始方程式，按照工作條件忽略一些次要因素。（3）找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系式。（4）消去原始方程式的中間變量，得到一個(gè)關(guān)于輸入、輸出的微分方程式。（5）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，將輸出各項(xiàng)放在等號左端，輸入各項(xiàng)放在等號右端，并且按照微分方程的階次降冪排列，同時(shí)將各系數(shù)化為具有一定物理意義的形式。2.1.2描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型1、微分方程形式2、傳遞函數(shù)形式3、狀態(tài)空間表達(dá)式一階微分方程組2.1.2描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型4、零極點(diǎn)增益形式模型轉(zhuǎn)換：掌握：1、傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型2、結(jié)構(gòu)圖形

3、式轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型例如：2.1.2描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型例：2-3-2歐拉法（Eulermethod）由以上推導(dǎo)得歐拉遞推公式：h為步長二、泰勒展開x(t)取前兩項(xiàng)，舍去高次項(xiàng)，寫成差分方程得歐拉遞推公式：2-3-2歐拉法（Eulermethod）三、截?cái)嗾`差歐拉法是由泰勒級數(shù)截?cái)鄅2以上的高階項(xiàng)而得到的，把截?cái)囗?xiàng)稱為截?cái)嗾`差。歐拉法的截?cái)嗾`差與h2同為一個(gè)數(shù)量級，具有一階精度。當(dāng)h減小時(shí),截?cái)嗾`差會減少。（注：截?cái)嗾`差為o（hp+1)時(shí)，稱為具有p階精度）例：用歐拉法求解下面微分方程，取h=0.2歐拉法數(shù)值解

4、：精確解：1.000000000000001.000000000000001.000000000000000.960789439152320.920000000000000.852143788966210.772800000000000.697676326071030.587328000000000.527292424043050.399383040000000.367879441171440.239629824000000.236927758682122-3-3梯形法（RK2）用梯形面積代替曲邊梯形的面積。其中k2

5、是有歐拉法估計(jì)得到。2-3-4四階龍格庫塔法（thefourth-orderRunge-KuttaMethod)K1,K2,K3,K4,稱為四階龍格庫塔系數(shù)。四階龍格庫塔法取了泰勒級數(shù)的前五項(xiàng)之和得到，截?cái)嗾`差O（h5),具有四階精度多取幾個(gè)點(diǎn)，然后將其斜率加權(quán)平均得一等效斜率，就得到四階龍格庫塔法。2-3-5幾種數(shù)值積分法的分析1、xn+1=xn+步長*各點(diǎn)斜率的加權(quán)平均2、精度取決于步長h及階次p。3、本次計(jì)算只用到前一次的計(jì)算結(jié)果，屬單步法。單步法優(yōu)點(diǎn)：占用存貯空間少，能自啟動(dòng)（從初值），可變步長。2-3數(shù)值

6、積分法的穩(wěn)定性一、起源數(shù)值積分法是一種近似的求解微分方程的方法。在反復(fù)的遞推運(yùn)算中將引入誤差，若誤差的積累越來越大，將使一個(gè)原本穩(wěn)定的系統(tǒng)，得到的仿真結(jié)果卻不穩(wěn)定。例如：有一個(gè)微分方程其解析解：歐拉法的遞推公式為：2-3數(shù)值積分法的穩(wěn)定性可見：當(dāng)

7、1-30h

8、>1時(shí)，遞推結(jié)果將是發(fā)散的。當(dāng)0

9、適應(yīng)，則不能保證其絕對穩(wěn)定性。其中，?為一復(fù)數(shù)，?=?+j??<0,（即原系統(tǒng)穩(wěn)定）2-3數(shù)值積分法的穩(wěn)定性三、用測試方程考察歐拉法的穩(wěn)定性當(dāng)

10、1+h?

11、<=1時(shí)，計(jì)算穩(wěn)定。2、求其穩(wěn)定邊界設(shè)h?=x+jy,由

12、1+h?

13、<=1得:

14、1+x+jy

15、<=1穩(wěn)定邊界為：(1+x)2+y2=1當(dāng)?為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，步長的穩(wěn)定區(qū)間為：0

16、2/?

17、2-3數(shù)值積分法的穩(wěn)定性四、龍格庫塔法的計(jì)算穩(wěn)定性1、RK22、RK42-4數(shù)值積分法的選擇原則從精度、速度、穩(wěn)定性三個(gè)角度考慮一、計(jì)算精度數(shù)值積分存在兩種誤差。1、截?cái)嗾`差：舍去泰

18、勒級數(shù)的高階項(xiàng)形成的。p?截?cái)嗾`差?h?截?cái)嗾`差?2、舍入誤差由于計(jì)算機(jī)的字長有限引起的，會隨著計(jì)算次數(shù)的增加而積累。p?計(jì)算量?舍入誤差?h?計(jì)算量?舍入誤差?2-4數(shù)值積分法的選擇原則如右圖示，兩種誤差對步長的要求是矛盾的，最好選擇在h0附近。一般情況下選：Tmin/20<=h<=Tmin/5系統(tǒng)響應(yīng)快的，步長要小。二、計(jì)算速度h?計(jì)算速度