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《注意全等三角形的構(gòu)造方法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、注意全等三角形的構(gòu)造方法！注意全等三角形的構(gòu)造方法搞清了全等三角形的證題思路后，還要注意一些較難的一些證明問題，只要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了．下面舉例說明幾種常見的構(gòu)造方法，供同學(xué)們參考．1．截長補(bǔ)短法例1．如圖（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，求證：AB+BE=AC．解法（一）（補(bǔ)短法或補(bǔ)全法）延長AB至F使AF=AC，由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45º，∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC．解法（二）（截長法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知
2、 △ABE≌△AGE，∴EG=BE,∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º,∴CG=EG,∴AB+BE=AG+CG=AC． 2．平行線法（或平移法） 若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì)Rt△,有時(shí)可作出斜邊的中線．例2．△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ．證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△AD
3、O≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ． 說明：⑴本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長補(bǔ)短法”． ?、票绢}利用“平行法”解法也較多，舉例如下：①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO來解決．②如圖（3），過O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，則△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO來解決．③如圖（4），過P作PD∥BQ交A
4、B的延長線于D，則△APD≌△APC來解決．④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP來解決．（本題作平行線的方法還很多，感興趣的同學(xué)自己研究）． 3．旋轉(zhuǎn)法對(duì)題目中出現(xiàn)有一個(gè)公共端點(diǎn)的相等線段時(shí)，可試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。例3．已知：如圖（6），P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù)．分析：直接求∠APB的度數(shù)，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形．略解：將△BAP繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至△ACD，連接PD，則△BAP≌△ADC，∴DC=BP=4，∵AP=AD，∠PA
5、D=60°，又∵PC=5，PD+DC=PC 圖（6）∴△PDC為Rt△,∠PDC=90º∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90º=150º． 4．倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)?！±?．如圖（7）AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE．求證：AC=BF證明：延長AD至H使DH=AD，連BH，∵BD=CD，∠BDH=∠ADC，DH=DA，∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF，∴
6、∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE= 圖（7）∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF． 5．翻折法 若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對(duì)稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來構(gòu)造全等三角形．例5．如圖（8）已知：在△ABC中，∠A=45º,AD⊥BC，若BD=3，DC=2， 求：△ABC的面積．解：以AB為軸將△ABD翻轉(zhuǎn)180º，得到與它全等的△ABE，以AC為軸將△ADC翻轉(zhuǎn)180º，得到與它全等的△AFC，EB、FC延長線交于G，易證四邊形AEGF是正方形，設(shè)它的邊長為
7、x，則BG=x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3）+（x-2）=5． 解得x=6，則AD=6，∴S△ABC=×5×6=15． 圖（8）
