全等三角形構(gòu)造方法

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1、北京四中　　　　　　　　　　　撰稿：董嵩　　　審稿：王正　　　責(zé)編：孫景艷　　　　　　　　　　　　　全等三角形的判定和構(gòu)造一、本周教學(xué)目標(biāo)　　1．熟練掌握三角形全等的四個(gè)判定方法，掌握直角三角形全等的判定定理．　　2．合理運(yùn)用所學(xué)定理證明兩個(gè)三角形全等（包括一次全等和兩次全等）．　　3．探索三角形全等是用來(lái)說明線段相等（對(duì)應(yīng)邊相等）、角相等（對(duì)應(yīng)角相等）、線平行等問題的基　　　本途徑，在說理過程中要注意運(yùn)用等式性質(zhì)．　　4．通過合理的添加輔助線，構(gòu)造出全等的三角形，并創(chuàng)設(shè)出新的數(shù)量和位置關(guān)系，從而解決問題．　　5．在學(xué)習(xí)幾何的過程中，逐漸

2、領(lǐng)悟到猜想與嚴(yán)格證明的緊密聯(lián)系——猜想為嚴(yán)格證明提供的方向；嚴(yán)　　　格的證明是把猜想變?yōu)檎_或者不正確的結(jié)論．二、本周教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)　　直角三角形全等的判定方法的得出過程以及利用三角形全等的各種方法進(jìn)行證明是重點(diǎn)；掌握綜合法證明三角形全等既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)；而通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形是一個(gè)難點(diǎn)．三、本周教學(xué)內(nèi)容解析　　1．HL是判定直角三角形全等的一種特殊方法，因此SSS、SAS、ASA、AAS和HL都可以判定直角三角形全　　　等．不要一看到直角三角形就只想到HL的判定方法．　　2．證明三角形全等是用來(lái)說明線段相等、角相等、直線平行等問

3、題的基本途徑，不是幾何證明的最終　　　目標(biāo).因此,在某些幾何圖形結(jié)構(gòu)中不存在全等關(guān)系的，可以添加輔助線構(gòu)造全等，進(jìn)而解決問題．（一）典型例題1、綜合法證明三角形全等　　1．如圖所示，點(diǎn)、在直線上，，過點(diǎn)、分別作，，且．　?。?）如圖（1），若與相交于點(diǎn)，試問與相等嗎？試說明理由．　?。?）如圖（2），若將的邊沿方向移動(dòng)至圖中所示位置時(shí)，其余條件不變，（1）中　　　　的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．　　　　　　　解：（1）．　　證明：，　　　　　，即，　　　　　又于點(diǎn)，于點(diǎn)，　　　　　在和中，　　　　　　　　　　≌（HL），　　　　　，　　

4、　　　在和中，　　　　　　　　　　≌（AAS），　　　　?。　。?）當(dāng)?shù)倪呉苿?dòng)后，仍然有．　　　　證明：，　　　　　　　，即，以下證明過程同（1），故仍然有．2、添加輔助線，構(gòu)造三角形全等．　　（1）【連接兩點(diǎn)】　　2．如圖，，．求證：．　　分析：本題的已知條件是四邊形中兩條線段AD、BC之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，而結(jié)論是關(guān)于兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，可以連接A、C兩點(diǎn)，將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形全等的問題進(jìn)行證明．　　證明：連接A、C．　　　　　，　　　　?。　　　　≡诤椭?，　　　　　　　　　　≌（SAS）．　　　　?。　⌒〗Y(jié)：連接兩點(diǎn)的

5、時(shí)候一般不破壞已知元素（如兩角）或求證的元素．　　（2）【截長(zhǎng)補(bǔ)短】　　3．如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB+BD=AC．　　方法一：截長(zhǎng)法　　分析：因?yàn)椤螧=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一點(diǎn)E，使得AB=AE，構(gòu)造△ABD≌△AED，把AB邊轉(zhuǎn)移到AE上，BD轉(zhuǎn)移到DE上，要證AB+BD=AC．即可轉(zhuǎn)化為證AE+BD=AE+EC，即證明BD=EC．　　證明：在AC上取一點(diǎn)E，使得AB=AE，連結(jié)DE．　　　　　在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠DAE，AD=AD，　　　　　

6、∴△ABD≌△AED（SAS）．　　　　　∴BD=DE，∠B=∠AED．　　　　　又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，　　　　　∴∠EDC=∠C．　　　　　∴ED=EC．　　　　　∴AB+BD=AC．　　方法二：補(bǔ)短法　　分析：因?yàn)椤螧=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，構(gòu)造△AED≌△ACD，把AC邊轉(zhuǎn)移到AE上，DC轉(zhuǎn)移到DE上，要證AB+BD=AC．即可轉(zhuǎn)化為證AB+BD=AB+BE，即證明BD=BE．　　證明：在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得AC=AE，連結(jié)DE．　　　　　在△AED和△AC

7、D中，　　　　　AE=AC，∠BAD=∠DAC，AD=AD，　　　　　∴△AED≌△ACD（SAS）．　　　　　∴∠C=∠E．　　　　　又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠E，　　　　　∴∠E=∠BDE．　　　　　∴BE=BD．　　　　　∴AB+BD=ＡE＝AC．　　方法三：補(bǔ)短法　　分析：若延長(zhǎng)DB到點(diǎn)E，使得BE=AB，則有AB+BD=ED，只要證出ED=AC即可．　　證明：延長(zhǎng)DB到點(diǎn)E，使得BE=AB，連結(jié)AE，　　　　　則有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．　　　　　又∠ABC=2∠C，　　　　　∴∠E＝∠C

8、．　　　　　∴AE=AC．　　　　　又　　　　　　　　　　又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+∠DAC=∠ADE，　　　　　∴AE=DE．　　　　　∴AB+BD=EB+BD=