構造全等三角形的方法

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1、全等三角形的構造方法全等三角形是初中數學中的重要內容之一，是今后學習其他內容的基礎。判斷三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果能夠直接證明三角形的全等的，直接根據相應的公理就可以證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據已知的條件結合相應的公理來進行分析，先推導出所缺的條件然后再證明。一些較難的一些證明問題要構造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進行等量代換，就可以化難為易了。?構造方法有：1．截長補短法。2．平行線法（或平移法）：若題設中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt△,有時可作出斜邊的中線。3．旋轉法：對題目中出現(xiàn)有一個公共端點的相等線段時，可試用

2、旋轉方法構造全等三角形。4．倍長中線法：題中條件若有中線，可延長一倍，以構造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內。5．翻折法：若題設中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對稱性質，沿軸翻轉圖形來構造全等三角形。下面舉例說明幾種常見的構造方法，供同學們參考．?1．?截長補短法（通常用來證明線段和差相等）“截長法”即把結論中最大的線段根據已知條件分成兩段，使其中一段與較短線段相等，然后證明余下的線段與另一條線段相等的方法．“補短法”為把兩條線段中的一條接長成為一條長線段，然后證明接成的線段與較長的線段相等，或是把一條較短的線段加長，使它等于較長的一段，然后證明加長的那部分與另一較短

3、的線段相等．例1.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求證：AB=AC+CD．例2已知：如圖，AB=AC，E為AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，且BE=CF，EF交BC于點D．求證：DE=DF．　　　　　(2)已知：如圖，AB=AC，E為AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，且，EF交BC于點D，且D為EF的中點．　　求證：BE=CF．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例3(北京市數學競賽試題，天津市數學競賽試題)如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長．1.如圖已知：正方形ABCD中，∠

4、BAC的平分線交BC于E，求證：AB+BE=AC．??2.(年北京中考題)已知中，，、分別平分和，、交于點，試判斷、、的數量關系，并加以證明．　　?3.已知：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求證：BE+DF=AE.如圖，四邊形ABPC中，，，，求證：．2．平行線法（或平移法）??若題設中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt△,有時可作出斜邊的中線．?例?△ABC中，∠BAC=60°，∠C=440°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ．?說明：⑴本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長補短法"．???

5、??????????????????????????⑵本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：①????如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO來解決．②????如圖（3），過O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，則△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO來解決．③????如圖（4），過P作PD∥BQ交AB的延長線于D，則△APD≌△APC來解決．?④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP來解決．（本題作平行線的方法還很多，感興趣的同學自己研究）?3．旋轉法對題目中出現(xiàn)有一個公共端點的相等線段時，可試用旋轉方法構造全等三角形例．已知：如圖（6），P為

6、△ABC內一點，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數．分析：直接求∠APB的度數，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，聯(lián)想到構造直角三角形．?4．倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內。例1．如圖（7）AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE．求證：AC=BF5．翻折法??若題設中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對稱性質，沿軸翻轉圖形來構造全等三角形．例1．如圖（8）已知：在△ABC中，∠A=45o,AD⊥BC，若BD=3，DC=2，??求：△ABC的面積