例談?dòng)脦缀巫儞Q思想指導(dǎo)初中幾何的學(xué)習(xí)

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1、例談?dòng)脦缀巫儞Q思想指導(dǎo)初中幾何的學(xué)習(xí)義烏市廿三里初中陳建新322013[摘要]幾何變換的思想拓寬了認(rèn)知初中幾何課程的視野，用幾何變換的方法來(lái)處理初中幾何課程的難點(diǎn)問(wèn)題已經(jīng)越來(lái)越受到重視。文章通過(guò)例題，分類解析全等變換、相似變換以及幾何變換的綜合應(yīng)用等在解題中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：幾何變換；學(xué)法指導(dǎo)；初中數(shù)學(xué)；平面幾何；數(shù)學(xué)思想一、從幾何發(fā)展史看幾何變換以《幾何原本》為代表的古希臘數(shù)學(xué)將邏輯學(xué)引入幾何,開(kāi)創(chuàng)了用定義公理(也包括公設(shè))定理來(lái)闡釋幾何的公理化邏輯論證的先河,以邏輯推理能力為主要表現(xiàn)的理性精神得到充分顯現(xiàn).但是希臘幾何缺乏

2、對(duì)于運(yùn)動(dòng)的闡釋,在整個(gè)《幾何原本》[1]中,并沒(méi)有從圖形運(yùn)動(dòng)變化的角度來(lái)認(rèn)識(shí)圖形及幾何問(wèn)題,《幾何原本》中關(guān)于圖形的數(shù)量及位置關(guān)系的討論完全是靜止地、技巧地構(gòu)造三角形全等的方法來(lái)展開(kāi)的.在解析、分析及集合論、群論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的幾何變換可以有效地解決傳統(tǒng)歐氏幾何課程中的上述不足.把幾何變換引入傳統(tǒng)歐氏幾何既能保持歐氏幾何在論證上的優(yōu)點(diǎn),又能很好地克服歐氏幾何所缺乏運(yùn)動(dòng)變換的觀念。1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊茵在《愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)》中將幾何變換用于認(rèn)識(shí)歐氏幾何,促成了人類對(duì)幾何本質(zhì)的深刻認(rèn)識(shí):“一種特定的幾何學(xué)就是研究圖形在一個(gè)特定的

3、變換群下維持不變的那些性質(zhì)的學(xué)問(wèn)。例如，平面的歐氏幾何，是那些圖形性質(zhì)在旋轉(zhuǎn)、平移、鏡射以及相似性下維持不變的研究。因此，當(dāng)兩個(gè)三角形全等時(shí)，如果由歐氏的一個(gè)對(duì)稱、一個(gè)平移、一個(gè)旋轉(zhuǎn)，以及可能是一個(gè)鏡射的組合變換，其中一個(gè)可以變換到另一個(gè)”[2]“幾何學(xué)中的不同方法采用的起始公設(shè)就可以這樣來(lái)表征，即它們都是處理某個(gè)簡(jiǎn)單的線性變換群的不變理論?！盵3]于是同一類里的所有圖形所共有的幾何性質(zhì)和幾何量就是這個(gè)變換群下的不變性和不變量；反過(guò)來(lái)，如果圖形在這個(gè)變換群中一切變換下的不變性和不變量必定是同一個(gè)等價(jià)類中一切圖形所共有的性質(zhì)。這樣

4、就可以利用變換群的觀點(diǎn)來(lái)討論或研究相應(yīng)的幾何學(xué)。[4]由于歐氏平面上的正交變換構(gòu)成群，因此可以利用正交變換建立合同（全等）概念，即一個(gè)圖形與經(jīng)過(guò)正交變換所得到的對(duì)應(yīng)圖形合同。這樣歐氏幾何就成為研究同一等價(jià)類里一起圖形所共有的性質(zhì)，圖形關(guān)于正交變換群下的不變性、不變量所構(gòu)成的所有命題就自然構(gòu)成歐氏幾何的研究?jī)?nèi)容。從而，從幾何變換的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)知幾何，不僅幾何的本質(zhì)能夠得到深刻的揭示，而且從幾何變換的觀點(diǎn)揭示幾何，還能很好的溝通幾何與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的聯(lián)系，有力地消除歐氏幾何的“孤島”效應(yīng)，正如史寧中所說(shuō)“……把變換的思想講了，……這樣就能克服

5、兩個(gè)缺點(diǎn)：知識(shí)陳舊和不直觀的問(wèn)題”[5].8縱觀當(dāng)前我國(guó)的初中數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想是新課標(biāo)明確提出的教學(xué)基本要求。幾何變換本身及其應(yīng)用過(guò)程蘊(yùn)含了豐富的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、建模等基本數(shù)學(xué)思想；另一方面，從實(shí)用的角度看，幾何變換問(wèn)題是中考?jí)狠S題的難點(diǎn)熱點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)的應(yīng)用也有利于初中生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。幾何變換的思想拓寬了認(rèn)知初中幾何課程的視野，用幾何變換的方法來(lái)處理初中幾何課程的難點(diǎn)問(wèn)題是“把教學(xué)建立在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，使中學(xué)課程的風(fēng)格和語(yǔ)言接近于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的風(fēng)格和語(yǔ)言，使學(xué)生的思維向現(xiàn)代數(shù)學(xué)

6、思維發(fā)展”[6]的一個(gè)顯著體現(xiàn)，已經(jīng)越來(lái)越受到重視。我國(guó)2011版的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)就明確規(guī)定了有關(guān)幾何變換的課程內(nèi)容[7]～[8].一、例談初中幾何中的幾何變換（一）全等變換在平面到自身的一一變換下，如果任意線段的長(zhǎng)和它的象的長(zhǎng)總相等，那么這種變換叫做全等變換，或稱合同變換。一般來(lái)說(shuō)，初中教科書中都只是簡(jiǎn)單地指出“能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形”。但是如何才能實(shí)現(xiàn)處于特定位置上的兩個(gè)圖形（線段、三角形等）之間的重合呢？下面，我們從幾何變換的角度來(lái)討論。1.平移變換平移變換就是將平面圖形上的所有點(diǎn)都按照固定的方向，移

7、動(dòng)相同的距離。也就是說(shuō)，平移變換將平面上的所有點(diǎn)都進(jìn)行一次平行移動(dòng)，保持各條線段長(zhǎng)度，各條直線所形成的角度不發(fā)生變化。也可以認(rèn)為平移變換只是改變了圖形的位置，不改變圖形的大小和特征。例1在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)，已知，且，求梯形的腰長(zhǎng)。分析與解由于兩條對(duì)角線AD與BC相交，不直接構(gòu)成三角形，因此，可以考慮“平移變換”使兩條對(duì)角線在同一三角形中，這樣就可以使條件聚集，從而使問(wèn)題得以解決。過(guò)點(diǎn)做DF∥AC交的延長(zhǎng)線與一點(diǎn)，又過(guò)點(diǎn)做等腰梯形ABCD的高DG。由四邊形ACFD是平行四邊形，所以△BDF是

8、等腰三角形。由題意知BD=BF=12.△BDF的高。因?yàn)镈F∥AC且BE:DE=5:1，故有CF:BF=1:6，從而BC=10,GC=BC-BG=4，又因，所以。評(píng)析此題是平移變換的一個(gè)最基本應(yīng)用。AC平移到DF的變換過(guò)程保持了線段大小不變即DF=AC,角度不變