幾何變換思想

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1、幾何變換思想變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式的恒等變換、幾何中有圖形的變換。在初等幾何中，圖形變換是一種重要的思想方法，它以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)處理孤立靜止的幾何問(wèn)題，往往在解決問(wèn)題的過(guò)程中能夠收到意想不到的效果。1.初等幾何變換的概念。初等幾何變換是關(guān)于平面圖形在同一個(gè)平面內(nèi)的變換，在中小學(xué)教材中出現(xiàn)的相似變換、合同變換等都屬于初等幾何變換。合同變換實(shí)際上就是相似比為1的相似變換，是特殊的相似變換。合同變換也叫保距變換，分為平移、旋轉(zhuǎn)和反射(軸對(duì)稱)變換等。(1)平移變換。???將平面上任一點(diǎn)P變換到P′，使得：(1)射線PP′的方向

2、一定；(2)線段PP′的長(zhǎng)度一定，則稱這種變換為平移變換。也就是說(shuō)一個(gè)圖形與經(jīng)過(guò)平移變換后的圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相互平行且相等。平移變換有以下一些性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。②在平移變換下兩點(diǎn)之間的方向保持不變。如任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有ＡＢ∥Ａ′Ｂ′。③在平移變換下兩點(diǎn)之間的距離保持不變。如任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。在解初等幾何問(wèn)題時(shí)，常利用平移變換使分散的條件集中在一起，具有更緊湊的位置關(guān)系或變換成更簡(jiǎn)單的基本圖形。(2)旋轉(zhuǎn)變換。在同一平面內(nèi)，使原

3、點(diǎn)O變換到它自身，其他任何點(diǎn)X變換到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)；則稱這樣的變換為旋轉(zhuǎn)變換。O稱為旋轉(zhuǎn)中心，定角θ為旋轉(zhuǎn)角。當(dāng)θ>0時(shí)，為逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)θ<0時(shí)，為順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。當(dāng)θ等于平角時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換就是中心對(duì)稱。通俗地說(shuō)就是一個(gè)圖形圍繞一個(gè)定點(diǎn)在不變形的情況下轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的運(yùn)動(dòng)，就是旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)變換下，圖形的方位可能有變化。旋轉(zhuǎn)變換有以下一些性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。②在旋轉(zhuǎn)變換下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有直線ＡＢ和直線Ａ′Ｂ′所成的角等于θ。③在旋轉(zhuǎn)變換

4、下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。在解決幾何問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)的作用是使原有圖形的性質(zhì)得以保持，但通過(guò)改變其位置，組合成新的圖形，便于計(jì)算和證明。(3)反射變換。在同一平面內(nèi)，若存在一條定直線Ｌ，使對(duì)于平面上的任一點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′，其連線PP′的中垂線都是Ｌ，則稱這種變換為反射變換，也就是常說(shuō)的軸對(duì)稱，定直線Ｌ稱為對(duì)稱軸，也叫反射軸。軸對(duì)稱有如下性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。②在反射變換下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有直線ＡＢ和直線Ａ′Ｂ′所成的角的平分線為Ｌ。③兩點(diǎn)之間的距

5、離保持不變，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形。把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。軸對(duì)稱變換和軸對(duì)稱圖形是兩個(gè)不同的概念，前者是指圖形之間的關(guān)系或折疊運(yùn)動(dòng)，后者是指一個(gè)圖形。中小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多圖形都是軸對(duì)稱圖形，利用這些圖形的軸對(duì)稱性質(zhì)，可以幫助我們解決一些計(jì)算和證明的幾何問(wèn)題。(4)相似變換。在同一平面內(nèi)，圖形中的任意兩點(diǎn)A、B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′、B′，也就是任一線段AB變換成A

6、′B′，總有A′B′＝K·AB(K>0，且為常數(shù))，則稱為相似變換。通俗地說(shuō)就是一個(gè)圖形按照一定比例放大或縮小，圖形的形狀不變。其中的K稱為相似比或相似系數(shù)，當(dāng)K＝1時(shí)，即為合同變換。相似變換有以下一些性質(zhì)：①兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)的比等于相似比。②兩個(gè)圖形的面積的比等于相似比的平方。③兩條直線的夾角保持不變。生活中的許多現(xiàn)象都滲透著相似變換的思想，如物體和圖形在光線下的投影、照片和圖片的放大或縮小、零件的圖紙等等，因而利用相似變換可以解決生活中的一些幾何問(wèn)題。2.幾何變換思想的重要意義。課程改革以來(lái)，幾何的教學(xué)已經(jīng)由傳統(tǒng)的注重圖形的性質(zhì)，周長(zhǎng)、面積和體積

7、等的計(jì)算、演繹推理能力轉(zhuǎn)變?yōu)榕囵B(yǎng)空間觀念、計(jì)算能力、推理能力及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Σ⒅氐娜娴?、和諧的發(fā)展。其中推理不僅僅重視演繹推理，還特別強(qiáng)調(diào)合情推理。也就是說(shuō)，新課程的理念在幾何的育人功能方面注重空間觀念、創(chuàng)新精神、探索能力、推理能力、計(jì)算能力、幾何模型等全面、和諧的發(fā)展。而圖形變換作為幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容和思想方法之一，在幾何的育人功能方面發(fā)揮著非常重要的作用。圖形變換來(lái)源于生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的這些運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，因而了解圖形的變換，有利于我們認(rèn)識(shí)生活中豐富多彩的生活空間和形成初步的空間觀念。利用圖形變換設(shè)計(jì)美麗的圖案，有利于感受、發(fā)現(xiàn)

8、和創(chuàng)造生活的美，有利于認(rèn)識(shí)圖形之間的關(guān)系和發(fā)展空間觀念。利用圖形變換把靜止的幾何問(wèn)題通過(guò)運(yùn)動(dòng)變換，找到更加簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題的