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1、例談用幾何變換思想指導(dǎo)初中幾何的學(xué)習(xí)義烏市廿三里初中陳建新322013[摘要]幾何變換的思想拓寬了認(rèn)知初中幾何課程的視野，用幾何變換的方法來處理初中幾何課程的難點問題已經(jīng)越來越受到重視。文章通過例題，分類解析全等變換、相似變換以及幾何變換的綜合應(yīng)用等在解題中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：幾何變換；學(xué)法指導(dǎo)；初中數(shù)學(xué)；平面幾何；數(shù)學(xué)思想一、從幾何發(fā)展史看幾何變換以《幾何原本》為代表的古希臘數(shù)學(xué)將邏輯學(xué)引入幾何,開創(chuàng)了用定義公理(也包括公設(shè))定理來闡釋幾何的公理化邏輯論證的先河,以邏輯推理能力為主要表現(xiàn)的理性精神得到充分顯現(xiàn).但是希臘幾何缺乏對于運動的闡釋,在整個《幾何原本》
2、[1]中,并沒有從圖形運動變化的角度來認(rèn)識圖形及幾何問題,《幾何原本》中關(guān)于圖形的數(shù)量及位置關(guān)系的討論完全是靜止地、技巧地構(gòu)造三角形全等的方法來展開的.在解析、分析及集合論、群論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的幾何變換可以有效地解決傳統(tǒng)歐氏幾何課程中的上述不足.把幾何變換引入傳統(tǒng)歐氏幾何既能保持歐氏幾何在論證上的優(yōu)點,又能很好地克服歐氏幾何所缺乏運動變換的觀念。1872年，德國數(shù)學(xué)家克萊茵在《愛爾蘭根綱領(lǐng)》中將幾何變換用于認(rèn)識歐氏幾何,促成了人類對幾何本質(zhì)的深刻認(rèn)識:“一種特定的幾何學(xué)就是研究圖形在一個特定的變換群下維持不變的那些性質(zhì)的學(xué)問。例如，平面的歐氏幾何，是那些圖形性
3、質(zhì)在旋轉(zhuǎn)、平移、鏡射以及相似性下維持不變的研究。因此，當(dāng)兩個三角形全等時，如果由歐氏的一個對稱、一個平移、一個旋轉(zhuǎn)，以及可能是一個鏡射的組合變換，其中一個可以變換到另一個”[2]“幾何學(xué)中的不同方法采用的起始公設(shè)就可以這樣來表征，即它們都是處理某個簡單的線性變換群的不變理論?！盵3]于是同一類里的所有圖形所共有的幾何性質(zhì)和幾何量就是這個變換群下的不變性和不變量；反過來，如果圖形在這個變換群中一切變換下的不變性和不變量必定是同一個等價類中一切圖形所共有的性質(zhì)。這樣就可以利用變換群的觀點來討論或研究相應(yīng)的幾何學(xué)。[4]由于歐氏平面上的正交變換構(gòu)成群，因此可以利用正交
4、變換建立合同（全等）概念，即一個圖形與經(jīng)過正交變換所得到的對應(yīng)圖形合同。這樣歐氏幾何就成為研究同一等價類里一起圖形所共有的性質(zhì)，圖形關(guān)于正交變換群下的不變性、不變量所構(gòu)成的所有命題就自然構(gòu)成歐氏幾何的研究內(nèi)容。從而，從幾何變換的觀點來認(rèn)知幾何，不僅幾何的本質(zhì)能夠得到深刻的揭示，而且從幾何變換的觀點揭示幾何，還能很好的溝通幾何與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的聯(lián)系，有力地消除歐氏幾何的“孤島”效應(yīng)，正如史寧中所說“……把變換的思想講了，……這樣就能克服兩個缺點：知識陳舊和不直觀的問題”[5].8縱觀當(dāng)前我國的初中數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想是新課標(biāo)明確提出的教學(xué)基本要求。幾何變換本身及其應(yīng)用
5、過程蘊含了豐富的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、建模等基本數(shù)學(xué)思想；另一方面，從實用的角度看，幾何變換問題是中考壓軸題的難點熱點問題，運動觀點的應(yīng)用也有利于初中生發(fā)現(xiàn)問題、、提出問題、分析問題和解決問題。幾何變換的思想拓寬了認(rèn)知初中幾何課程的視野，用幾何變換的方法來處理初中幾何課程的難點問題是“把教學(xué)建立在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，使中學(xué)課程的風(fēng)格和語言接近于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的風(fēng)格和語言，使學(xué)生的思維向現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維發(fā)展”[6]的一個顯著體現(xiàn)，已經(jīng)越來越受到重視。我國2011版的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)就明確規(guī)定了有關(guān)幾何變換的課程內(nèi)容[7]～[8].一、例談初中幾何中的幾何變換（一
6、）全等變換在平面到自身的一一變換下，如果任意線段的長和它的象的長總相等，那么這種變換叫做全等變換，或稱合同變換。一般來說，初中教科書中都只是簡單地指出“能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形”。但是如何才能實現(xiàn)處于特定位置上的兩個圖形（線段、三角形等）之間的重合呢？下面，我們從幾何變換的角度來討論。1.平移變換平移變換就是將平面圖形上的所有點都按照固定的方向，移動相同的距離。也就是說，平移變換將平面上的所有點都進行一次平行移動，保持各條線段長度，各條直線所形成的角度不發(fā)生變化。也可以認(rèn)為平移變換只是改變了圖形的位置，不改變圖形的大小和特征。例1在等腰梯形ABCD
7、中，AD∥BC，對角線AC和BD相交于點，已知，且，求梯形的腰長。分析與解由于兩條對角線AD與BC相交，不直接構(gòu)成三角形，因此，可以考慮“平移變換”使兩條對角線在同一三角形中，這樣就可以使條件聚集，從而使問題得以解決。過點做DF∥AC交的延長線與一點，又過點做等腰梯形ABCD的高DG。由四邊形ACFD是平行四邊形，所以△BDF是等腰三角形。由題意知BD=BF=12.△BDF的高。因為DF∥AC且BE:DE=5:1，故有CF:BF=1:6，從而BC=10,GC=BC-BG=4，又因，所以。評析此題是平移變換的一個最基本應(yīng)用。AC平移到DF的變換過程保持了線段大小不
8、變即DF=AC,角度不變
